阶乘进制
| 阶乘进制 | |
|---|---|
| 术语名称 | 阶乘进制 |
| 英语名称 | factorial numeral system |
| 别名 | factoradic |
阶乘进制(factorial numeral system, factoradic)指位权为阶乘的混合基数记数法。其基数依次为正整数，位权由低到高为 [math]\displaystyle{ 0!,1!,2!,3!,\cdots }[/math] 。
由于最后一位的基数是 1 （[math]\displaystyle{ =\tfrac{1!}{0!} }[/math]），这一数位上的符号一定是 0 ，一些定义中会省略掉位权为 [math]\displaystyle{ 0! }[/math] 的位。
使用阶乘进制一般是为了保证基数是正整数，如果出现小数部分，一般不会选择自然地选择非正整数作为小数部分的基数，而是选择对称使用正整数，也就是用阶乘的倒数作为位权。
定义
对混合基数记数法，若每一位的基数为正整数 [math]\displaystyle{ 1,2,3,\cdots }[/math] ，位权为 [math]\displaystyle{ r }[/math] 的数位上符号为 [math]\displaystyle{ 0,1,\cdots,r-1 }[/math] ，位权为 [math]\displaystyle{ 0!,1!,2!,3!,\cdots }[/math] ，则称其为阶乘进制(factorial number system, factoradic)。
表示
阶乘进制通常使用加进制下标的形式，如 [math]\displaystyle{ 21200_{!} }[/math] 或 [math]\displaystyle{ (21200)_{!} }[/math] 。由于阶乘进制下，足够高位的数字可能超过 9 ，也使用冒号分隔每一位数，以保证足够大的数可以写成十进制并避免混淆，如 [math]\displaystyle{ 2:1:2:0:0_{!} }[/math] 。
数值及表示
位权
阶乘进制的位权为阶乘，由地位向高位依次为 [math]\displaystyle{ 0!,1!,2!,3!,\cdots }[/math] 。
如果存在小数部分，则向低位基数也使用正整数，即位权也依次为 [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{1!},\tfrac{1}{2!},\tfrac{1}{3!},\cdots }[/math] 。
需要注意的是，小数点前和小数点后第一位的基数是 [math]\displaystyle{ 1=\frac{1!}{0!}=1! }[/math] ，所以这两位上的数总是 0 ，在一些定义中会被省略。
一些常见数值表示
对有限小数，不列出其对应的无限循环小数形式。
| 整数（十进制） | 整数（阶乘进制） | 分数（十进制） | 小数（阶乘进制） |
|---|---|---|---|
| 1 | [math]\displaystyle{ 1:0_! }[/math] | 1/1 | [math]\displaystyle{ 1:0_! }[/math] |
| 2 | [math]\displaystyle{ 1:0:0_! }[/math] | 1/2 | [math]\displaystyle{ 0.0:1_! }[/math] |
| 3 | [math]\displaystyle{ 1:1:0_! }[/math] | 1/3 | [math]\displaystyle{ 0.0:0:2_! }[/math] |
| 4 | [math]\displaystyle{ 2:0:0_! }[/math] | 1/4 | [math]\displaystyle{ 0.0:0:1:2_! }[/math] |
| 5 | [math]\displaystyle{ 2:1:0_! }[/math] | 1/5 | [math]\displaystyle{ 0.0:0:1:0:4_! }[/math] |
| 6 | [math]\displaystyle{ 1:0:0:0_! }[/math] | 1/6 | [math]\displaystyle{ 0.0:0:1_! }[/math] |
| 7 | [math]\displaystyle{ 1:0:1:0_! }[/math] | 1/7 | [math]\displaystyle{ 0.0:0:0:3:2:0:6_! }[/math] |
| 8 | [math]\displaystyle{ 1:1:0:0_! }[/math] | 1/8 | [math]\displaystyle{ 0.0:0:0:3_! }[/math] |
| 9 | [math]\displaystyle{ 1:1:1:0_! }[/math] | 1/9 | [math]\displaystyle{ 0.0:0:0:2:3:2_! }[/math] |
| 10 | [math]\displaystyle{ 1:2:0:0_! }[/math] | 1/10 | [math]\displaystyle{ 0.0:0:0:2:2_! }[/math] |
| 11 | [math]\displaystyle{ 1:2:1:0_! }[/math] | 1/11 | [math]\displaystyle{ 0.0:0:0:2:0:5:4:1:4:0:\mathrm{A}_! }[/math] |
| 12 | [math]\displaystyle{ 2:0:0:0_! }[/math] | 1/12 | [math]\displaystyle{ 0.0:0:0:2_! }[/math] |
自然数的阶乘进制表示见 A124252 。不含最后一位 0 的阶乘进制表示见 A007623 。
应用
排列的字典序即 Lehmer 编码，与自然数在阶乘进制下的表示一一对应。其对应规则为每一位都是在剩余元素中取指定顺序的元素。
| 记数系统 | |||
|---|---|---|---|
| 位值制记数法 | 进位制记数法/标准位值制记数法（进制） | 二进制、八进制、十进制、十六进制、…… | |
| 非标准位值制记数法 | 带符号进位制记数法/ 平衡记数法（平衡进制） |
平衡三进制、…… | |
| 双射记数法（双射进制） | 一进制、双射十进制、双射二十六进制、…… | ||
| 位权是幂 但基数不是自然数 （非自然数进制） |
[math]\displaystyle{ -2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -4 }[/math] 、…… | ||
| [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt{3} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[12]{2} }[/math] 、…… | |||
| [math]\displaystyle{ 2i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[4]{2}i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ 2\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{2}\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -1\pm i }[/math] 、…… | |||
| 位权不是幂（混合进制） | 二五混合进制、阶乘进制、…… | ||
| 其他 | [math]\displaystyle{ p }[/math]-进数 | ||
| 质数记数法、…… | |||
| 符值制记数法 | 罗马记数法、希腊记数法、…… | ||