阶乘进制

阶乘进制
术语名称	阶乘进制
英语名称	factorial numeral system
别名	factoradic

阶乘进制(factorial numeral system, factoradic)指位权为阶乘的混合基数记数法。其基数由低到高依次为正整数，位权由低到高为 [math]\displaystyle{ 0!,1!,2!,3!,\cdots }[/math] 。由于最后一位的基数是 1 （[math]\displaystyle{ =\tfrac{1!}{0!} }[/math]），这一数位上的符号一定是 0 ，也常见省略掉位权为 [math]\displaystyle{ 0! }[/math] 的位的定义方式。

使用阶乘进制表示小数时，仍继续保证基数是正整数。如果出现小数部分，一般会选择对称地使用正整数作为基数，也就是用阶乘的倒数作为位权，在小数点后位权由高到低为 [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{1!},\tfrac{1}{2!},\tfrac{1}{3!},\cdots }[/math] 。

定义

对混合基数记数法，若每一位的基数为正整数 [math]\displaystyle{ 1,2,3,\cdots }[/math] ，基数为 [math]\displaystyle{ r }[/math] 的数位上符号为 [math]\displaystyle{ 0,1,\cdots,r-1 }[/math] ，位权为 [math]\displaystyle{ 0!,1!,2!,3!,\cdots }[/math] ，则称其为阶乘进制(factorial number system, factoradic)。部分定义中省略基数为 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 的位。

表示

阶乘进制通常使用加进制下标的形式，如 [math]\displaystyle{ 21200_{!} }[/math] 或 [math]\displaystyle{ (21200)_{!} }[/math] 。由于阶乘进制下，足够高位的数字可能超过 9 ，也使用冒号分隔每一位数，以保证足够大的数可以写成十进制并避免混淆，如 [math]\displaystyle{ 2{:}1{:}2{:}0{:}0_{!} }[/math] 。

数值及转换

位权

阶乘进制中，基数由低到高依次为正整数 [math]\displaystyle{ 1,2,3,\cdots }[/math] ，其位权为阶乘，由低位向高位依次为 [math]\displaystyle{ 0!,1!,2!,3!,\cdots }[/math] 。

如果存在小数部分，则小数部分基数也有高到低使用正整数 [math]\displaystyle{ 1,2,3,\cdots }[/math] ，即位权也依次为 [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{1!},\tfrac{1}{2!},\tfrac{1}{3!},\cdots }[/math] 。

需要注意的是，小数点前和小数点后第一位的基数都是 1 ，所以这两位上的数字总是 0 ，在很多定义中会被省略。

一些常见数值表示

对有限小数，不列出其对应的无限小数形式（由于基数每一位都不同，阶乘进制下有限小数对应的无限小数的小数部分不是循环的而是按规律的，无限位的 [math]\displaystyle{ r_i-1 }[/math] 代替了标准 [math]\displaystyle{ r }[/math] 进制中的 [math]\displaystyle{ r-1 }[/math] 循环）。

此处的阶乘进制表示按照本文定义，不省略基数为 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 的数位。如果需要换算为一些资料中省略基数为 1 数位的格式，需要去除下标中表示方法在小数点前后的各一位。

整数（十进制）	整数（阶乘进制）	分数（十进制）	小数（阶乘进制）
1	[math]\displaystyle{ 1{:}0_! }[/math]	1/1	[math]\displaystyle{ 1{:}0_! }[/math]
2	[math]\displaystyle{ 1{:}0{:}0_! }[/math]	1/2	[math]\displaystyle{ 0.0{:}1_! }[/math]
3	[math]\displaystyle{ 1{:}1{:}0_! }[/math]	1/3	[math]\displaystyle{ 0.0{:}0{:}2_! }[/math]
4	[math]\displaystyle{ 2{:}0{:}0_! }[/math]	1/4	[math]\displaystyle{ 0.0{:}0{:}1{:}2_! }[/math]
5	[math]\displaystyle{ 2{:}1{:}0_! }[/math]	1/5	[math]\displaystyle{ 0.0{:}0{:}1{:}0{:}4_! }[/math]
6	[math]\displaystyle{ 1{:}0{:}0{:}0_! }[/math]	1/6	[math]\displaystyle{ 0.0{:}0{:}1_! }[/math]
7	[math]\displaystyle{ 1{:}0{:}1{:}0_! }[/math]	1/7	[math]\displaystyle{ 0.0{:}0{:}0{:}3{:}2{:}0{:}6_! }[/math]
8	[math]\displaystyle{ 1{:}1{:}0{:}0_! }[/math]	1/8	[math]\displaystyle{ 0.0{:}0{:}0{:}3_! }[/math]
9	[math]\displaystyle{ 1{:}1{:}1{:}0_! }[/math]	1/9	[math]\displaystyle{ 0.0{:}0{:}0{:}2{:}3{:}2_! }[/math]
10	[math]\displaystyle{ 1{:}2{:}0{:}0_! }[/math]	1/10	[math]\displaystyle{ 0.0{:}0{:}0{:}2{:}2_! }[/math]
11	[math]\displaystyle{ 1{:}2{:}1{:}0_! }[/math]	1/11	[math]\displaystyle{ 0.0{:}0{:}0{:}2{:}0{:}5{:}4{:}1{:}4{:}0{:}\mathrm{A}_! }[/math]
12	[math]\displaystyle{ 2{:}0{:}0{:}0_! }[/math]	1/12	[math]\displaystyle{ 0.0{:}0{:}0{:}2_! }[/math]

自然数的阶乘进制表示见 OEIS-A124252 。不含最后一位 0 的阶乘进制表示见 OEIS-A007623 。

应用

排列的字典序即 Lehmer 编码，与自然数在阶乘进制下的表示一一对应。其对应规则为每一位都是在剩余元素中取指定顺序的元素。

记数系统
位值制 记数法	进位制记数法/标准位值制记数法（进制）			二进制、八进制、十进制、十六进制、……
	非标准 位值制 记数法	符号数字 进位制记数法	平衡进位制记数法 （平衡进制）	平衡三进制、……
		双射进位制记数法 （双射进制）		双射十进制、双射二十六进制、……
		位权是幂 但基数不是自然数 （非自然数进制）		[math]\displaystyle{ -2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -4 }[/math] 、……
				[math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt{3} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[12]{2} }[/math] 、……
				[math]\displaystyle{ 2i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[4]{2}i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ 2\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{2}\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -1\pm i }[/math] 、……
		位权不是幂	存在基数 （混合进制）	二五混合进制、阶乘进制、……
		广义位值制记数法		[math]\displaystyle{ p }[/math]-进数
				质数记数法、……
符值制记数法				（双射）一进制、罗马记数法、希腊记数法、……