查看“︁阶（群）”︁的源代码

[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=阶
|eng_name=order
|aliases=周期,period,period length
}}
[[群]]中元素的'''阶'''('''order''')/'''周期'''('''period''')指群中某元素不断与自身运算时回归[[幺元]]所需的元素个数，若不能回归称为无穷大。
{{InfoBox
|name=阶
|eng_name=order
}}
群的'''阶'''('''order''')指群的大小，对[[有限集]]就是集合中元素的个数，而对无限集是无穷大。是群中所有元素阶的上限。

== 定义 ==

=== 群的阶 ===

{{Operation
|name=阶
|symbol=<math>|\bullet|</math>,<math>\operatorname{ord}(\bullet)</math>
|latex=\vert\vert,\operatorname{ord}()
|operand=群
|operand_num=1
|result=自然数或无穷
|codomain=<math>\mathbb{N} \cup \{\infty\}</math>
}}
对群 <math>G</math> ：
* 若集合 <math>G</math> 是有限集，记群 <math>G</math> 的阶 <math>|G|</math> 为集合的 <math>|G|</math> 的元素个数；
* 若集合 <math>G</math> 是无限集，记群 <math>G</math> 的阶 <math>|G| = \infty</math> 。
也记作 <math>\operatorname{ord}(G)</math> 。

=== 群元素的阶 ===

{{Operation
|name=阶
|symbol=<math>|\bullet|</math>,<math>\operatorname{ord}(\bullet)</math>
|latex=\vert\vert,\operatorname{ord}()
|operand=元素
|operand_num=1
|result=自然数或无穷
|domain=<math>G</math>
|codomain=<math>\mathbb{N} \cup \{\infty\}</math>
}}
对群 <math>G</math> 的元素 <math>g</math> ：
* 若存在正整数 <math>n</math> 有 <math>g^n = e</math> ，则记满足 <math>g^n = e</math> 的最小正整数 <math>n</math> 为元素 <math>g</math> 的阶 <math>|g|</math> 。
* 若不存在，记 <math>|g| = \infty</math> 。
也记作 <math>\operatorname{ord}(g)</math> 。

== 性质 ==

* <math>(\forall n\in \mathbb{Z})(g^n = e \leftrightarrow |g| \mid n)</math>。
** <math>(\forall m,n\in \mathbb{Z}, m\neq n)(g^m = g^n \leftrightarrow g^{m-n} = e \leftrightarrow |g| \mid (m-n))</math>
** 若 <math>g</math> 有无限的阶，则 <math>(\forall m,n\in \mathbb{Z}, m\neq n)(g^m \neq g^n)</math>
** 若 <math>g</math> 有有限的阶，则任意正整数 <math>m</math> 有阶 <math>|g^m| = \frac{\operatorname{lcm}(m, |g|)}{m} = \frac{|g|}{\operatorname{gcd}(m, |g|)}</math> 。
*** <math>|g^m| = |g| \leftrightarrow \operatorname{gcd}(|g|, m) = 1</math>
** <math>ab=ba, \operatorname{gcd}(|a|, |b|) = 1</math> 则 <math>|ab| = |a| |b|</math>
** 质数阶群中只有阶为 1 和质数本身的子群，因此一定是[[循环群]]。
** 群中元素的阶不大于群的阶，或者说，群的阶是群中元素的阶的理论上限。且此时其阶以内的所有幂的必然是群中部分元素的一个排列。
*** <math>n</math> 阶有限循环群的其生成元的阶也是 <math>n</math> 。
* 群中阶为 2 的元素是自身的逆。
** 一个有限群中，包含的幺元是唯一一个 1 阶元素，然后可以包含任意个 2 阶元素；阶大于 2 的元素必然是偶数个，并且可以按互为逆元的关系配对。


{{群}}