阶（群）
| 阶 | |
|---|---|
| 术语名称 | 阶 |
| 英语名称 | order |
| 别名 | 周期, period, period length |
群中元素的阶(order)/周期(period)指群中某元素不断与自身运算时回归幺元所需的元素个数，若不能回归称为无穷大。
| 阶 | |
|---|---|
| 术语名称 | 阶 |
| 英语名称 | order |
群的阶(order)指群的大小，对有限集就是集合中元素的个数，而对无限集是无穷大。是群中所有元素阶的上限。
定义
群的阶
| 阶 | |
|---|---|
| 运算名称 | 阶 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ |\bullet| }[/math],[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(\bullet) }[/math] |
| Latex | \vert\vert , \operatorname{ord}()
|
| 运算对象 | 群 |
| 运算元数 | 1 |
| 运算结果 | 自然数或无穷
|
| 陪域 | [math]\displaystyle{ \mathbb{N} \cup \{\infty\} }[/math] |
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ：
- 若集合 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是有限集，记群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的阶 [math]\displaystyle{ |G| }[/math] 为集合的 [math]\displaystyle{ |G| }[/math] 的元素个数；
- 若集合 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是无限集，记群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的阶 [math]\displaystyle{ |G| = \infty }[/math] 。
也记作 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(G) }[/math] 。
群元素的阶
| 阶 | |
|---|---|
| 运算名称 | 阶 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ |\bullet| }[/math],[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(\bullet) }[/math] |
| Latex | \vert\vert , \operatorname{ord}()
|
| 运算对象 | 元素 |
| 运算元数 | 1 |
| 运算结果 | 自然数或无穷 |
| 定义域 | [math]\displaystyle{ G }[/math] |
| 陪域 | [math]\displaystyle{ \mathbb{N} \cup \{\infty\} }[/math] |
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的元素 [math]\displaystyle{ g }[/math] ：
- 若存在正整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] 有 [math]\displaystyle{ g^n = e }[/math] ，则记满足 [math]\displaystyle{ g^n = e }[/math] 的最小正整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] 为元素 [math]\displaystyle{ g }[/math] 的阶 [math]\displaystyle{ |g| }[/math] 。
- 若不存在，记 [math]\displaystyle{ |g| = \infty }[/math] 。
也记作 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(g) }[/math] 。
性质
- [math]\displaystyle{ (\forall n\in \mathbb{Z})(g^n = e \leftrightarrow |g| \mid n) }[/math]。
- [math]\displaystyle{ (\forall m,n\in \mathbb{Z}, m\neq n)(g^m = g^n \leftrightarrow g^{m-n} = e \leftrightarrow |g| \mid (m-n)) }[/math]
- 若 [math]\displaystyle{ g }[/math] 有无限的阶，则 [math]\displaystyle{ (\forall m,n\in \mathbb{Z}, m\neq n)(g^m \neq g^n) }[/math]
- 若 [math]\displaystyle{ g }[/math] 有有限的阶，则任意正整数 [math]\displaystyle{ m }[/math] 有阶 [math]\displaystyle{ |g^m| = \frac{\operatorname{lcm}(m, |g|)}{m} = \frac{|g|}{\operatorname{gcd}(m, |g|)} }[/math] 。
- [math]\displaystyle{ |g^m| = |g| \leftrightarrow \operatorname{gcd}(|g|, m) = 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ ab=ba, \operatorname{gcd}(|a|, |b|) = 1 }[/math] 则 [math]\displaystyle{ |ab| = |a| |b| }[/math]
- 质数阶群中只有阶为 1 和质数本身的子群，因此一定是循环群。
- 群中元素的阶不大于群的阶，或者说，群的阶是群中元素的阶的理论上限。且此时其阶以内的所有幂的必然是群中部分元素的一个排列。
- [math]\displaystyle{ n }[/math] 阶有限循环群的其生成元的阶也是 [math]\displaystyle{ n }[/math] 。
- 群中阶为 2 的元素是自身的逆。
- 一个有限群中，包含的幺元是唯一一个 1 阶元素，然后可以包含任意个 2 阶元素；阶大于 2 的元素必然是偶数个，并且可以按互为逆元的关系配对。