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[[分类:数论函数]]
{{InfoBox
|name=除数和函数
|eng_name=sum-of-divisors function
|aliases=因数和函数,σ函数,sigma function
}}
'''除数和函数'''('''sum-of-divisor function''')指[[正整数]]到其正[[因数]]（除数）之和的[[数论函数]]。

可看作指数为 1 的[[除数函数]]。

== 定义 ==

{{Function
|name=除数和函数
|symbol=<math>\sigma_1()</math>,<math>\sigma()</math>
|latex=\sigma_1,\sigma
|prototype=乘性函数
|domain=<math>\mathbb{N}^*</math>
|codomain=<math>\mathbb{N}^*</math>
}}
对正整数 <math>n</math> ，定义正整数集上的函数 <math>\sigma_z</math> 为：

<math>
\sigma_k(n) = \sum_{d\mid n} d^k
</math>

其中 <math>\sum_{d\mid n}</math> 表示对 <math>n</math> 所有的正因数 <math>d</math> 求和。将这样形式的函数统称为除数函数。其中 <math>k=1</math> 的函数 <math>\sigma_1(n)=\sum_{d\mid n} d</math> 将整数映射到其所有正因数之和，称为'''除数和函数'''('''sum-of-divisors function''')，也直接记作 <math>\sigma(n)</math> 并称为'''σ函数'''('''sigma function''')。

== 性质 ==

σ函数是[[乘性函数]]，也就是说 <math>\operatorname{gcd}(a,b)=1 \rightarrow \sigma(ab) = \sigma(a) \sigma(b)</math> 。

形式上，σ函数 <math>\sigma</math> 是 <math>n</math> 的 [[Möbius 反演|Möbius 变换]]。


{{数论函数}}

== 琐事 ==

σ函数的 [[σ]] 指 sum 。

=== 数列编号 ===

除数和函数 <math>\sigma_1(n)</math> 或 <math>\sigma(n)</math> 的数列见{{OEIS|A000203}}。