除数和函数

除数和函数
术语名称	除数和函数
英语名称	sum-of-divisors function
别名	因数和函数, σ函数, sigma function

除数和函数(sum-of-divisor function)指正整数到其正因数（除数）之和的数论函数。

可看作指数为 1 的除数函数。

定义

除数和函数
函数名称	除数和函数
函数符号	[math]\displaystyle{ \sigma_1() }[/math],[math]\displaystyle{ \sigma() }[/math]
Latex	\sigma_1 , \sigma
类型	乘性函数
定义域	[math]\displaystyle{ \mathbb{N}^* }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathbb{N}^* }[/math]

对正整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，定义正整数集上的函数 [math]\displaystyle{ \sigma_z }[/math] 为：

[math]\displaystyle{ \sigma_k(n) = \sum_{d\mid n} d^k }[/math]

其中 [math]\displaystyle{ \sum_{d\mid n} }[/math] 表示对 [math]\displaystyle{ n }[/math] 所有的正因数 [math]\displaystyle{ d }[/math] 求和。将这样形式的函数统称为除数函数。其中 [math]\displaystyle{ k=1 }[/math] 的函数 [math]\displaystyle{ \sigma_1(n)=\sum_{d\mid n} d }[/math] 将整数映射到其所有正因数之和，称为除数和函数(sum-of-divisors function)，也直接记作 [math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math] 并称为σ函数(sigma function)。

性质

σ函数是乘性函数，也就是说 [math]\displaystyle{ \operatorname{gcd}(a,b)=1 \rightarrow \sigma(ab) = \sigma(a) \sigma(b) }[/math] 。

形式上，σ函数 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 是 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的 Möbius 变换。

数论函数
分类	加性函数	完全加性函数
	乘性函数	完全乘性函数
性质	Möbius 反演（Möbius 变换、 Möbius 逆变换）
	Dirichlet 卷积
常见数论函数
除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_k(n) }[/math]	除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_0(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ d(n) }[/math]	除数和函数 [math]\displaystyle{ \sigma_1(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]
Euler 函数	Euler 函数 [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math]	Carmichael 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
二次剩余相关符号	Legendre 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{p}) }[/math]	Jacobi 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{d}) }[/math]
乘法阶数与指标	乘法阶数 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}_{m} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \delta_{m}(n) }[/math]	指标 [math]\displaystyle{ \operatorname{ind}_{g} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \gamma_{m,g}(n) }[/math]
其他	相异质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \omega(n) }[/math]	质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \Omega(n) }[/math]、Liouville 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
	质数计数函数 [math]\displaystyle{ \pi(n) }[/math]	Чебышёв 第一函数 [math]\displaystyle{ \theta(n) }[/math]、第二函数 [math]\displaystyle{ \psi(n) }[/math]、Mangoldt 函数 [math]\displaystyle{ \Lambda(n) }[/math]
	Möbius 函数 [math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math]
	Dirichlet 特征 [math]\displaystyle{ \chi(n;m) }[/math]

琐事

σ函数的 σ 指 sum 。

数列编号

除数和函数 [math]\displaystyle{ \sigma_1(n) }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math] 的数列见A000203。