查看“︁除法”︁的源代码

[[分类:数的运算]]
{{InfoBox
|name=除法
|eng_name=division
}}
{{InfoBox
|name=除数
|eng_name=divisor
}}
{{InfoBox
|name=被除数
|eng_name=dividend
}}
{{InfoBox
|name=商
|eng_name=quotient
}}
'''除法'''('''division''')是一个二元[[运算]]，是[[四则运算]]之一。

除法定义为[[乘法]]的[[逆运算]]。

本条目限制在实数范围。对其他更复杂数系，以及其他数以外的数学对象的除法，参考各自的条目。

== 描述 ==

{{Operation
|name=除法
|symbol=<math>\div</math>,<math>\frac{\bullet}{\bullet}</math>
|latex=\div,\frac{}{}
|operand=数
|result=数
}}
表达把一个数量分摊一个数量上的运算称为除法。
其中，被分摊的数称为'''被除数'''('''dividend''')，分摊的份数称为'''除数'''('''divisor''')，结果称为'''商'''('''quotient''')。
数 <math>a</math> 和数 <math>b</math> 的商记作 <math>a \div b</math> ，读作 '''<math>a</math> 除以 <math>b</math>''' ('''<math>a</math> divided by <math>b</math>''')，也记作 <math>\frac{a}{b}</math> ，读作 '''<math>a</math> 比（上） <math>b</math>''' ('''<math>a</math> over <math>b</math>''')。
{{CharMetaInfo
|char=&#xF7;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+00F7|Division Sign}}
|latex=\div
}}

与乘法的两个量互相累积相对，用于从累积值求取在某个值上的平均。与乘法的某个量的倍数相对，用于把一个数拆成另一个数的几倍。

== 定义 ==

=== 自然数上的减法 ===

对自然数 <math>a</math> 和 <math>b</math> ，若 <math>(\exists c \in N)(b \cdot c = a)</math> 则可证明其唯一，记 <math>c = \frac{a}{b}</math> ，此时 <math>a</math> 和 <math>b</math> 之间的这种运算，称为自然数的'''除法'''。

自然数、甚至整数，对除法不封闭。
* 说自然数的除法时，会根据上下文有所区别：有时是指结果还在自然数上的部分运算，有时陪域被自动放大到正有理数范围（在此基础上又分为用分数表示、小数表示和小数近似），有时指的是有理数范围内除法和某种取整的复合，有时是指带余除法。
* 说整数的除法时，也会根据上下文有所区别：有时是指结果还在自然数上的部分运算，有时陪域被自动放大到有理数范围（在此基础上又分为用分数表示、小数表示和小数近似），有时指的是有理数范围内除法和某种取整的复合，有时是指带余除法，有时是指中心带余除法。

==== 性质 ====

可证明，除法具有[[反交换性]]。

=== 乘法群上的除法 ===

对于定义乘法的集合 <math>G</math> ，若除法[[可交换]]、有[[幺元]]，且部分元[[逆元|可逆]]，则对其中元素 <math>a</math> 和可逆元素 <math>b</math> ，将运算 <math>a b^{-1}</math> 称为'''集合 <math>G</math> 上的除法'''。

若进一步地，这个集合是使除法可交换、[[可结合]]、有幺元、有逆元的数集（有理数、实数……），则对其中数 <math>a</math> 和数 <math>b</math> ， <math>b^{-1}</math> 是 <math>b</math> 的[[倒数]]，除法定义为一个数与另一个数的倒数进行乘法运算。

对于不可交换的情况，存在左除法 <math>b^{-1}a</math> 和右除法 <math>ab^{-1}</math> 。


{{四则运算}}
{{超运算}}