除法
| 除法 | |
|---|---|
| 术语名称 | 除法 |
| 英语名称 | division |
| 除数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 除数 |
| 英语名称 | divisor |
| 被除数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 被除数 |
| 英语名称 | dividend |
| 商 | |
|---|---|
| 术语名称 | 商 |
| 英语名称 | quotient |
本条目限制在实数范围。对其他更复杂数系，以及其他数以外的数学对象的除法，参考各自的条目。
描述
| 除法 | |
|---|---|
| 运算名称 | 除法 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \div }[/math],[math]\displaystyle{ \frac{\bullet}{\bullet} }[/math] |
| Latex | \div , \frac{}{}
|
| 运算对象 | 数 |
| 运算元数 | 2 |
| 运算结果 | 数
|
表达把一个数量分摊一个数量上的运算称为除法。 其中，被分摊的数称为被除数(dividend)，分摊的份数称为除数(divisor)，结果称为商(quotient)。 数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和数 [math]\displaystyle{ b }[/math] 的商记作 [math]\displaystyle{ a \div b }[/math] ，读作 [math]\displaystyle{ a }[/math] 除以 [math]\displaystyle{ b }[/math] ([math]\displaystyle{ a }[/math] divided by [math]\displaystyle{ b }[/math])，也记作 [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} }[/math] ，读作 [math]\displaystyle{ a }[/math] 比（上） [math]\displaystyle{ b }[/math] ([math]\displaystyle{ a }[/math] over [math]\displaystyle{ b }[/math])。
| ÷ | |
|---|---|
| 字符 | ÷ |
| Unicode码位 | U+00F7 Division Sign
|
| Latex命令序列 | \div
|
与乘法的两个量互相累积相对，用于从累积值求取在某个值上的平均。与乘法的某个量的倍数相对，用于把一个数拆成另一个数的几倍。
定义
自然数上的减法
对自然数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和 [math]\displaystyle{ b }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\exists c \in N)(b \cdot c = a) }[/math] 则可证明其唯一，记 [math]\displaystyle{ c = \frac{a}{b} }[/math] ，此时 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和 [math]\displaystyle{ b }[/math] 之间的这种运算，称为自然数的除法。
自然数、甚至整数，对除法不封闭。
- 说自然数的除法时，会根据上下文有所区别：有时是指结果还在自然数上的部分运算，有时陪域被自动放大到正有理数范围（在此基础上又分为用分数表示、小数表示和小数近似），有时指的是有理数范围内除法和某种取整的复合，有时是指带余除法。
- 说整数的除法时，也会根据上下文有所区别：有时是指结果还在自然数上的部分运算，有时陪域被自动放大到有理数范围（在此基础上又分为用分数表示、小数表示和小数近似），有时指的是有理数范围内除法和某种取整的复合，有时是指带余除法，有时是指中心带余除法。
性质
可证明，除法具有反交换性。
乘法群上的除法
对于定义乘法的集合 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，若除法可交换、有幺元，且部分元可逆，则对其中元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和可逆元素 [math]\displaystyle{ b }[/math] ，将运算 [math]\displaystyle{ a b^{-1} }[/math] 称为集合 [math]\displaystyle{ G }[/math] 上的除法。
若进一步地，这个集合是使除法可交换、可结合、有幺元、有逆元的数集（有理数、实数……），则对其中数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和数 [math]\displaystyle{ b }[/math] ， [math]\displaystyle{ b^{-1} }[/math] 是 [math]\displaystyle{ b }[/math] 的倒数，除法定义为一个数与另一个数的倒数进行乘法运算。
对于不可交换的情况，存在左除法 [math]\displaystyle{ b^{-1}a }[/math] 和右除法 [math]\displaystyle{ ab^{-1} }[/math] 。
| 四则运算 | |||
|---|---|---|---|
| 加法 [math]\displaystyle{ + }[/math] | 减法 [math]\displaystyle{ - }[/math] | 乘法 [math]\displaystyle{ \times }[/math] | 除法 [math]\displaystyle{ \div }[/math] |
| 超运算 [math]\displaystyle{ a[n]b }[/math] / [math]\displaystyle{ a\uparrow\dots\uparrow b }[/math] | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 级别 [math]\displaystyle{ n }[/math] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| 超运算 | 后继 | 加法 | 乘法 | 乘方 | 超幂/幂塔/迭代幂次 | 广义迭代幂次 | … |
| 对 [math]\displaystyle{ a }[/math] 逆运算 | 前趋 | 减法 | 除法 | 开方 | 超开方 | … | |
| 对 [math]\displaystyle{ b }[/math] 逆运算 | 对数 | 超对数 | … | ||||