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[[分类:集合]]{{DEFAULTSORT:ji2he2}}
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|keywords=集合, 元素, 集族, 集合论
|description=本文介绍集合的基本概念、性质、表示方法及常见关系与运算，涵盖朴素集合论和公理化集合论的视角，包括确定性、互异性和无序性等核心特性。
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|published_time=2023-4-9
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{{InfoBox
|name=集合
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|aliases=集
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'''集合'''('''set''')，指由零个、一个或多个无序、不重复、确定的对象所构成的整体，构成集合的对象被称为'''元素'''('''element''')。

在命名中，集合通常简称为'''集'''，如数的集合称为数集、点的集合称为点集。

注：以上定义为朴素集合论的常见定义，在公理化集合论（如 [[ZF 公理系统]]）中，需要按照对应系统中的公理定义集合。

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|eng_name=family of sets
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特别地，集合的集合也称为'''[[集族]]'''('''family of sets''')。

== 性质 ==

在朴素集合论中，集合具有以下几个基本性质：

# 确定性：集合中的每个元素都是确定的，即给定一个元素，它要么属于集合，要么不属于集合。
# 互异性：集合中的元素互不相同，即每个元素在集合中只能出现一次。
# 无序性：集合中的元素之间没有固定的顺序。

== 表示 ==

集合可以用多种方式表示。常见的表示方法包括列举法、描述法、符号法等。

# 列举法：列举法是将集合中的所有元素逐一列举出来，用大括号括起来表示集合。例如，集合 <math>\{ 1, 2, 3 \}</math> 表示包含元素 1 、 2 和 3 的集合。
# 描述法：描述法是用一个性质来描述集合中的所有元素。描述法的一般形式为 <math>\left\{ x \in U \mid P(x) \right\}</math> ，也有人写作 <math>\left\{ x \in U: P(x)\right\}</math> ，其中 <math>P(x)</math> 表示 <math>x</math> 满足的性质（一元[[谓词]]），
读作“满足 <math>P(x)</math> 的所有 <math>x</math> （属于 <math>U</math>）” (“(the set of) all <math>x</math> (in <math>U</math>) such that <math>P(x)</math>”)或“这样的 <math>x</math> （属于 <math>U</math>）满足 <math>P(x)</math>”。
例如，集合 <math>\left\{ x \mid x > 0 \right\}</math> 表示所有大于0的数构成的集合。不需要额外指明范围时，竖线前的范围 <math>\in U</math> 可省略。竖线前的元素（称为代表元）的格式可以是代数式，如偶数集可表示为 <math>\{2x\mid x\in\mathbb{Z}\}</math> 。
# 符号法：符号法是用符号来表示集合。集合通常使用大写字母，如 <math>A</math> 等。同时，特定的符号代表特定的集合。
例如， <math>\mathbb{N}</math> 表示自然数集合， <math>\mathbb{Z}</math> 表示整数集合， <math>\mathbb{Q}</math> 表示有理数集合， <math>\mathbb{R}</math> 表示实数集合等。
# Venn 图：图形中，用圆圈代表集合，点表示集合中的元素。

=== 符号 ===

表述一个集合时，通常使用 [[大写拉丁字母序列|A、B、C 等大写字母]]；表述其中元素时，通常使用 [[小写拉丁字母序列|a、b、c 等小写字母]]。
对于几何相关的语境，由于往往使用小写字母代表几何图形（点集），大写字母代表点，此时会交换大小写字母的使用。

=== 图示 ===

主条目： [[Venn 图]]

== 关系和运算 ==

{{集合}}

=== 全部搜索结果 ===

{{RelatedToType}}

== 琐事 ==

=== 元素类型 ===

在标准集合论中，集合中的元素可以是任何对象。
但是为了便于讨论，在实际场景中，一般默认集合中的元素来自同一个范围（称为论域、[[全集]]），或者通俗地说，有着一致的“类型”，比如所有元素都是数、都是平面几何图形等。