集合

集合
术语名称	集合
英语名称	set
别名	集

元素
术语名称	元素
英语名称	element

集合(set)，指由零个、一个或多个无序、不重复、确定的对象所构成的整体，构成集合的对象被称为元素(element)。

在命名中，集合通常简称为集，如数的集合称为数集、点的集合称为点集。

注：以上定义为朴素集合论的常见定义，在公理化集合论（如 ZF 公理系统）中，需要按照对应系统中的公理定义集合。

集族
术语名称	集族
英语名称	family of sets

特别地，集合的集合也称为集族(family of sets)。

性质

在朴素集合论中，集合具有以下几个基本性质：

1. 确定性：集合中的每个元素都是确定的，即给定一个元素，它要么属于集合，要么不属于集合。
2. 互异性：集合中的元素互不相同，即每个元素在集合中只能出现一次。
3. 无序性：集合中的元素之间没有固定的顺序。

表示

集合可以用多种方式表示。常见的表示方法包括列举法、描述法、符号法等。

1. 列举法：列举法是将集合中的所有元素逐一列举出来，用大括号括起来表示集合。例如，集合 [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, 3 \} }[/math] 表示包含元素 1 、 2 和 3 的集合。
2. 描述法：描述法是用一个性质来描述集合中的所有元素。描述法的一般形式为 [math]\displaystyle{ \left\{ x \in U \mid P(x) \right\} }[/math] ，也有人写作 [math]\displaystyle{ \left\{ x \in U: P(x)\right\} }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] 表示 [math]\displaystyle{ x }[/math] 满足的性质（一元谓词），

读作“满足 [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] 的所有 [math]\displaystyle{ x }[/math] （属于 [math]\displaystyle{ U }[/math]）” (“(the set of) all [math]\displaystyle{ x }[/math] (in [math]\displaystyle{ U }[/math]) such that [math]\displaystyle{ P(x) }[/math]”)或“这样的 [math]\displaystyle{ x }[/math] （属于 [math]\displaystyle{ U }[/math]）满足 [math]\displaystyle{ P(x) }[/math]”。 例如，集合 [math]\displaystyle{ \left\{ x \mid x \gt 0 \right\} }[/math] 表示所有大于0的数构成的集合。不需要额外指明范围时，竖线前的范围 [math]\displaystyle{ \in U }[/math] 可省略。竖线前的元素（称为代表元）的格式可以是代数式，如偶数集可表示为 [math]\displaystyle{ \{2x\mid x\in\mathbb{Z}\} }[/math] 。

1. 符号法：符号法是用符号来表示集合。集合通常使用大写字母，如 [math]\displaystyle{ A }[/math] 等。同时，特定的符号代表特定的集合。

例如， [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] 表示自然数集合， [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] 表示整数集合， [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] 表示有理数集合， [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] 表示实数集合等。

1. Venn 图：图形中，用圆圈代表集合，点表示集合中的元素。

符号

表述一个集合时，通常使用 A、B、C 等大写字母；表述其中元素时，通常使用 a、b、c 等小写字母。 对于几何相关的语境，由于往往使用小写字母代表几何图形（点集），大写字母代表点，此时会交换大小写字母的使用。

图示

主条目： Venn 图

关系和运算

集合
特殊集合	空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、全集
关系	成员关系/属于 [math]\displaystyle{ \in }[/math]
	包含关系/子集/超集 [math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]、真包含关系/真子集/真超集 [math]\displaystyle{ \subset }[/math]、相等关系 [math]\displaystyle{ = }[/math]
运算	基础运算	交集 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并集 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补集 [math]\displaystyle{ \bullet^\complement }[/math]（差集 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]）
	复合运算	对称差集 [math]\displaystyle{ \triangle }[/math]
	笛卡尔积运算	笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \times }[/math]、笛卡尔幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、幂集 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet) }[/math]/[math]\displaystyle{ 2^\bullet }[/math]、映射的集合 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
	不交并运算	不相交并集 [math]\displaystyle{ \sqcup }[/math]
	商运算	商集 [math]\displaystyle{ \bullet/\sim }[/math]

全部搜索结果

以下是本 wiki 中通过搜索页面结构化数据聚合的列表，仅供参考。

搜索到相关的特殊值：

页面	名称	对象类型
0-元组#0-元组集合	0-元组集合	集合
空集#空集	空集	集合
全集#全集	全集	集合
二值变量#二值集合	二值集合	集合
复数集#复数集	复数集	集合
实数集#实数集	实数集	集合
整数集#整数集	整数集	集合
有理数集#有理数集	有理数集	集合
自然数集#自然数集	自然数集	集合

搜索到相关的关系：

页面	关系名称	关系对象	关系元数
包含关系#包含关系（子集关系）	包含关系（子集关系）	集合	2
包含关系#包含关系（超集关系）	包含关系（超集关系）	集合	2
包含关系#真包含关系（真子集关系）	真包含关系（真子集关系）	集合	2
包含关系#真包含关系（真超集关系）	真包含关系（真超集关系）	集合	2
不相交#不相交关系	不相交关系	集合	2
成员关系#成员关系	成员关系	集合 数学对象	2
成员关系#成员关系（否定）	成员关系（否定）	集合 数学对象	2
基数#等势	等势	集合	2
相等关系（集合）#相等关系	相等关系	集合	2

搜索到相关的运算：

页面	运算名称	运算对象	运算元数	运算结果
并集#并集	并集	集合	2	集合
补集#补集	补集	集合	2	集合
不交并#不相交并集	不相交并集	集合	≥0	集合
笛卡尔积#笛卡尔积	笛卡尔积	集合 自然数	≥0 2	集合
差集#差集	差集	集合	2	集合
对称差#对称差	对称差	集合	2	集合
广义并#广义并	广义并	集族	1	集合
广义交#广义交	广义交	集族	1	集合
基数#基数	基数	集合	1	基数
交集#交集	交集	集合	2	集合
幂集#幂集	幂集	集合	1	集族
商集#商集	商集	集合 关系	2	集族
限制、延拓（映射）#限制映射/限制函数	限制映射/限制函数	集合 映射	2	映射

琐事

元素类型

在标准集合论中，集合中的元素可以是任何对象。 但是为了便于讨论，在实际场景中，一般默认集合中的元素来自同一个范围（称为论域、全集），或者通俗地说，有着一致的“类型”，比如所有元素都是数、都是平面几何图形等。