查看“︁零元”︁的源代码

[[分类:二元运算]]
{{InfoBox
|name=零元
|eng_name=zero element
|aliases=absorbing element,annihilating element
}}
{{InfoBox
|name=左零元
|eng_name=left zero element
|aliases=left zero
}}
{{InfoBox
|name=右零元
|eng_name=right zero element
|aliases=right zero
}}
'''零元'''('''zero element''')指某[[集合]]中的一个元素，在集合上的一个二元[[运算]]中，任何元素与其运算结果都会变成它。

== 定义 ==

对集合 <math>X</math> 上的二元运算 <math>\bullet</math> 及元素 <math>\theta</math> ：
* 若 <math>(\forall a \in X) (\theta \bullet a = \theta)</math> ，则称元素 <math>\theta</math> 为运算 <math>\bullet</math> 的'''左零元'''('''left zero element'''/'''left zero''')；
* 若 <math>(\forall a \in X) (a \bullet \theta = \theta)</math> ，则称元素 <math>\theta</math> 为运算 <math>\bullet</math> 的'''右零元'''('''right zero element'''/'''right zero''')；
* 若 <math>\theta</math> 既是运算 <math>\bullet</math> 的左零元又是运算 <math>\bullet</math> 的右零元，则称元素 <math>\theta</math> 为运算 <math>\bullet</math> 的'''零元'''('''zero element''')。

注：零元用 <math>\theta</math> 、 <math>z</math> 表示比较常见，需要区分集合时也使用 <math>\theta_X</math> 和 <math>z_X</math> 。在特定的上下文中偶尔会用 <math>0_X</math> 。

注：如果可交换，则不区分左右。

== 性质 ==

* 左零元既可以不存在，也可以存在多个；右零元也既可以不存在，也可以存在多个。
* 如果一个运算同时存在左右零元，那么左右零元必然相等且唯一。也就是说，只要同时有左右零元，就一定只有一个左零元，一个右零元，而且是同一个元素。


{{二元运算}}