零元
| 零元 | |
|---|---|
| 术语名称 | 零元 |
| 英语名称 | zero element |
| 别名 | absorbing element, annihilating element |
| 左零元 | |
|---|---|
| 术语名称 | 左零元 |
| 英语名称 | left zero element |
| 别名 | left zero |
| 右零元 | |
|---|---|
| 术语名称 | 右零元 |
| 英语名称 | right zero element |
| 别名 | right zero |
零元(zero element)指某集合中的一个元素，在集合上的一个二元运算中，任何元素与其运算结果都会变成它。
定义
对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 及元素 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] ：
- 若 [math]\displaystyle{ (\forall a \in X) (\theta \bullet a = \theta) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 为运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 的左零元(left zero element/left zero)；
- 若 [math]\displaystyle{ (\forall a \in X) (a \bullet \theta = \theta) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 为运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 的右零元(right zero element/right zero)；
- 若 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 既是运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 的左零元又是运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 的右零元，则称元素 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 为运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 的零元(zero element)。
注：零元用 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 、 [math]\displaystyle{ z }[/math] 表示比较常见，需要区分集合时也使用 [math]\displaystyle{ \theta_X }[/math] 和 [math]\displaystyle{ z_X }[/math] 。在特定的上下文中偶尔会用 [math]\displaystyle{ 0_X }[/math] 。
注：如果可交换，则不区分左右。
性质
- 左零元既可以不存在，也可以存在多个；右零元也既可以不存在，也可以存在多个。
- 如果一个运算同时存在左右零元，那么左右零元必然相等且唯一。也就是说，只要同时有左右零元，就一定只有一个左零元，一个右零元，而且是同一个元素。
| 封闭二元运算 |
|---|
| 结合性、交换性（交换元）、分配性（左、右） |
| 零元（左、右）、幺元（左、右）、逆元（左、右） |
| 消去律（左、右）、吸收律、幂等律（幂等元） |
| 反交换性、反分配性 |