查看“︁零因子”︁的源代码

[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=零因子
|eng_name=zero divisor
|aliases=zero-divisor
}}
{{InfoBox
|name=左零因子
|eng_name=left zero divisor
|aliases=left zero-divisor,left-zero-divisor
}}
{{InfoBox
|name=右零因子
|eng_name=right zero divisor
|aliases=right zero-divisor,right-zero-divisor
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{{InfoBox
|name=双侧零因子
|eng_name=two-sided zero divisor
|aliases=two-sided zero-divisor
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|name=单侧零因子
|eng_name=one-sided zero divisor
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{{InfoBox
|name=非平凡零因子
|eng_name=nontrivial zero divisor
|aliases=nontrivial zero-divisor,非零零因子,nonzero zero divisor,nonzero zero-divisor
}}
'''零因子'''('''zero divisor''')指[[环]]中元素可以与其他元素做乘法得到环的[[零元]]。
根据可以得到零时在左侧和右侧称为'''左零因子'''('''left zero divisor''')、'''右零因子'''('''right zero divisor''')，
并根据是否两侧都可以分为'''单侧零因子'''('''one-sided zero divisor''')和'''双侧零因子'''('''two-sided zero divisor''')。

== 定义 ==

对环 <math>R</math> 及元素 <math>a \in R</math> ：
* 若 <math>(\exists b \in R\setminus \{0_R\})(ab = 0_R)</math> ，称元素 <math>a</math> 是环 <math>R</math> 中的一个'''左零因子'''('''left zero divisor''')；
* 若 <math>(\exists b \in R\setminus \{0_R\})(ba = 0_R)</math> ，称元素 <math>a</math> 是环 <math>R</math> 中的一个'''右零因子'''('''right zero divisor''')；
* 若元素 <math>a</math> 是环 <math>R</math> 中的左零因子或右零因子，称元素 <math>a</math> 是环 <math>R</math> 中的一个'''零因子'''('''zero divisor''')；
* 若元素 <math>a</math> 同时是环 <math>R</math> 中的左零因子和右零因子，称元素 <math>a</math> 是环 <math>R</math> 中的一个'''双侧零因子'''('''two-sided zero divisor''')；
* 若元素 <math>a</math> 是环 <math>R</math> 中的零因子但不是双侧零因子，称元素 <math>a</math> 是环 <math>R</math> 中的一个'''单侧零因子'''('''one-sided zero divisor''')。

零元在非[[零环]]中总是一个零因子，被称为'''平凡'''('''trivial''')零因子。其他零因子则称为'''非平凡'''('''nontrivial''')零因子。

注：某些术语体系中，零元不视为零因子。

注： <math>(\exists b \in R\setminus \{0_R\})(ab = 0_R)</math> 也常写作 <math>(\exists b\in R)(b \neq 0_R \land ab = 0_R)</math> ，对应地 <math>(\exists b \in R\setminus \{0_R\})(ba = 0_R)</math> 也常写作 <math>(\exists b\in R)(b \neq 0_R \land ba = 0_R)</math> 。

左右零因子不会单独存在。如果环中有非平凡零因子，就有 <math>(\exists a,b \in R\setminus \{0_R\})(ab = 0_R)</math> ，则一定同时存在左右两种，直接称环有零因子。
相反情况，即不存在非平凡的零因子，称环无零因子，见[[无零因子环]]。
对应地，我们也说一个环有/无双侧零因子及有/无单侧零因子。

注：左零因子的否定是左非零因子，右零因子的否定是右非零因子，零因子的否定是非零因子/正则元。见[[非零因子]]。


{{环与模与域}}