零因子
| 零因子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 零因子 |
| 英语名称 | zero divisor |
| 别名 | zero-divisor |
| 左零因子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 左零因子 |
| 英语名称 | left zero divisor |
| 别名 | left zero-divisor, left-zero-divisor |
| 右零因子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 右零因子 |
| 英语名称 | right zero divisor |
| 别名 | right zero-divisor, right-zero-divisor |
| 双侧零因子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 双侧零因子 |
| 英语名称 | two-sided zero divisor |
| 别名 | two-sided zero-divisor |
| 单侧零因子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 单侧零因子 |
| 英语名称 | one-sided zero divisor |
| 别名 | one-sided zero-divisor |
| 非平凡零因子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 非平凡零因子 |
| 英语名称 | nontrivial zero divisor |
| 别名 | nontrivial zero-divisor, 非零零因子, nonzero zero divisor, nonzero zero-divisor |
零因子(zero divisor)指环中元素可以与其他元素做乘法得到环的零元。 根据可以得到零时在左侧和右侧称为左零因子(left zero divisor)、右零因子(right zero divisor)， 并根据是否两侧都可以分为单侧零因子(one-sided zero divisor)和双侧零因子(two-sided zero divisor)。
定义
对环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 及元素 [math]\displaystyle{ a \in R }[/math] ：
- 若 [math]\displaystyle{ (\exists b \in R\setminus \{0_R\})(ab = 0_R) }[/math] ，称元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中的一个左零因子(left zero divisor)；
- 若 [math]\displaystyle{ (\exists b \in R\setminus \{0_R\})(ba = 0_R) }[/math] ，称元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中的一个右零因子(right zero divisor)；
- 若元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中的左零因子或右零因子，称元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中的一个零因子(zero divisor)；
- 若元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 同时是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中的左零因子和右零因子，称元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中的一个双侧零因子(two-sided zero divisor)；
- 若元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中的零因子但不是双侧零因子，称元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中的一个单侧零因子(one-sided zero divisor)。
零元在非零环中总是一个零因子，被称为平凡(trivial)零因子。其他零因子则称为非平凡(nontrivial)零因子。
注：某些术语体系中，零元不视为零因子。
注： [math]\displaystyle{ (\exists b \in R\setminus \{0_R\})(ab = 0_R) }[/math] 也常写作 [math]\displaystyle{ (\exists b\in R)(b \neq 0_R \land ab = 0_R) }[/math] ，对应地 [math]\displaystyle{ (\exists b \in R\setminus \{0_R\})(ba = 0_R) }[/math] 也常写作 [math]\displaystyle{ (\exists b\in R)(b \neq 0_R \land ba = 0_R) }[/math] 。
左右零因子不会单独存在。如果环中有非平凡零因子，就有 [math]\displaystyle{ (\exists a,b \in R\setminus \{0_R\})(ab = 0_R) }[/math] ，则一定同时存在左右两种，直接称环有零因子。 相反情况，即不存在非平凡的零因子，称环无零因子，见无零因子环。 对应地，我们也说一个环有/无双侧零因子及有/无单侧零因子。
注：左零因子的否定是左非零因子，右零因子的否定是右非零因子，零因子的否定是非零因子/正则元。见非零因子。