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[[分类:范畴论]]
{{InfoBox
|name=零态射
|eng_name=zero morphism
}}
{{InfoBox
|name=有零态射的范畴
|eng_name=category with zero morphisms
}}
'''零态射'''('''zero morphism''')指[[范畴]]两个对象间经过[[零对象]]的态射。也指与任意其他态射复合后总是使其相等的态射。

== 定义 ==

若范畴 <math>\mathscr{C}</math> 有零对象 <math>Z</math> ，则对任意对象 <math>A,B</math> ，态射 <math>0_{AB}: A\to Z \to B</math> 唯一，称为从 <math>A</math> 到 <math>B</math> 的'''零态射'''('''zero morphism''')，记作 <math>0_{AB}</math> ，不需要指明对象时也记作 <math>0</math> 。

注：也有人用 <math>0_{BA}</math> 。

=== 扩展定义 ===

若范畴 <math>\mathscr{C}</math> 有态射 <math>f: A \to B</math> ，则：
* 若对任意态射 <math>g,h: Y \to A</math> ，态射 <math>fg = fh</math> ，或者说其 <math>f</math> 的左合成唯一，称为 <math>f</math> 一个恒等态射(constant morphism)/左零态射，
* 若对任意态射 <math>g,h: B \to X</math> ，态射 <math>gf = hf</math> ，或者说其 <math>f</math> 的右合成唯一，称为 <math>f</math> 一个余恒等态射(coconstant morphism)/右零态射，
* 若态射同时是恒等态射和余恒等态射，称其为零态射。
若范畴 <math>\mathscr{C}</math> 中任意两个对象间都有零态射，则称范畴 <math>\mathscr{C}</math> 为有零态射的范畴(category with zero morphisms)。

== 说明 ==

如果范畴有零对象，那么就像图中，零态射是两个零态射的合成。

{{GiteaSvg|zero_object}}

另一个角度看，如下图，无论其他态射怎么选，只要图中对象是确认的，且中间的态射是一个零态射的话，穿过这个零态射的合成都只能取到确定唯一的态射。

{{GiteaSvg|zero_morphism}}

== 性质 ==

有零对象的范畴一定是有零态射的范畴。

在有零对象的范畴中，以上两个定义等价。也可以等价地使用：
* 有零对象的范畴中，零态射总是可以分解为经过零对象的两段： <math>0_{AB} = 0_{ZB} \circ 0_{AZ}</math> 。
* 零态射把其他态射复合成零态射： <math>0_{AB} f_{YA} = 0_{YB}, f_{BX} 0_{AB} = 0_{AX}</math> 。（不要求零对象存在）


{{范畴论}}