零态射

零态射
术语名称	零态射
英语名称	zero morphism

有零态射的范畴
术语名称	有零态射的范畴
英语名称	category with zero morphisms

零态射(zero morphism)指范畴两个对象间经过零对象的态射。也指与任意其他态射复合后总是使其相等的态射。

定义

若范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 有零对象 [math]\displaystyle{ Z }[/math] ，则对任意对象 [math]\displaystyle{ A,B }[/math] ，态射 [math]\displaystyle{ 0_{AB}: A\to Z \to B }[/math] 唯一，称为从 [math]\displaystyle{ A }[/math] 到 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的零态射(zero morphism)，记作 [math]\displaystyle{ 0_{AB} }[/math] ，不需要指明对象时也记作 [math]\displaystyle{ 0 }[/math] 。

注：也有人用 [math]\displaystyle{ 0_{BA} }[/math] 。

扩展定义

若范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 有态射 [math]\displaystyle{ f: A \to B }[/math] ，则：

若对任意态射 [math]\displaystyle{ g,h: Y \to A }[/math] ，态射 [math]\displaystyle{ fg = fh }[/math] ，或者说其 [math]\displaystyle{ f }[/math] 的左合成唯一，称为 [math]\displaystyle{ f }[/math] 一个恒等态射(constant morphism)/左零态射，
若对任意态射 [math]\displaystyle{ g,h: B \to X }[/math] ，态射 [math]\displaystyle{ gf = hf }[/math] ，或者说其 [math]\displaystyle{ f }[/math] 的右合成唯一，称为 [math]\displaystyle{ f }[/math] 一个余恒等态射(coconstant morphism)/右零态射，
若态射同时是恒等态射和余恒等态射，称其为零态射。

若范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 中任意两个对象间都有零态射，则称范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 为有零态射的范畴(category with zero morphisms)。

说明

如果范畴有零对象，那么就像图中，零态射是两个零态射的合成。

另一个角度看，如下图，无论其他态射怎么选，只要图中对象是确认的，且中间的态射是一个零态射的话，穿过这个零态射的合成都只能取到确定唯一的态射。

性质

有零对象的范畴一定是有零态射的范畴。

在有零对象的范畴中，以上两个定义等价。也可以等价地使用：

有零对象的范畴中，零态射总是可以分解为经过零对象的两段： [math]\displaystyle{ 0_{AB} = 0_{ZB} \circ 0_{AZ} }[/math] 。
零态射把其他态射复合成零态射： [math]\displaystyle{ 0_{AB} f_{YA} = 0_{YB}, f_{BX} 0_{AB} = 0_{AX} }[/math] 。（不要求零对象存在）

范畴、态射
基本概念	范畴	态射、交换图
态射	单态射、满态射	双态射
态射	分裂单态射、分裂满态射（收缩、截面）	同构
泛在结构、泛性质
终端对象	始对象、终对象	零对象、零态射
泛在结构	切片范畴、余切片范畴	-
	楔、余楔·楔范畴、余楔范畴	积、余积
	锥、余锥·锥范畴、余锥范畴	极限、余极限
	-	等化子、余等化子
	-	核、余核