查看“︁非零因子”︁的源代码

[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=非零因子
|eng_name=non-zero-divisor
|aliases=正则元,regular element,cancellable element
}}
{{InfoBox
|name=左非零因子
|eng_name=left-non-zero-divisor
|aliases=左正则元,left regular element,left cancellable element
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{{InfoBox
|name=右非零因子
|eng_name=right-non-zero-divisor
|aliases=右正则元,right regular element,cancellable element
}}
'''非零因子'''('''non-zero-divisor''')/'''正则元'''('''regular element''')指[[环]]中不是[[零因子]]的元素，也说这些元素是'''正则的'''('''regular''')。

对于不是左零因子或右零因子的情况也对应地叫'''左非零因子'''('''left-non-zero-divisor''')或'''右非零因子'''('''right-non-zero-divisor''')。

== 定义 ==

对环 <math>R</math> 及元素 <math>a\in R</math> ：
* 若 <math>(\forall b \in R \setminus \{0_R\})(ab \neq 0_R)</math> ，称元素 <math>a</math> 是环 <math>R</math> 中的一个'''左非零因子'''('''left-non-zero-divisor''')/'''左正则元'''，或者说 <math>a</math> 在环 <math>R</math> 中是'''左正则的'''('''left regular''')；
* 若 <math>(\forall b \in R \setminus \{0_R\})(ba \neq 0_R)</math> ，称元素 <math>a</math> 是环 <math>R</math> 中的一个'''右非零因子'''('''right-non-zero-divisor''')/'''右正则元'''，或者说 <math>a</math> 在环 <math>R</math> 中是'''右正则的'''('''right regular''')；
* 若 <math>a</math> 在 <math>R</math> 中同时是左右非零因子，称元素 <math>a</math> 是环 <math>R</math> 中的一个'''非零因子'''('''non-zero-divisor''')/'''正则元'''，或者说 <math>a</math> 在环 <math>R</math> 中是'''正则的'''('''regular''')。

注：左非零因子的否定是左零因子，右非零因子的否定是右零因子，非零因子/正则元的否定是零因子。

注： <math>(\forall b \in R \setminus \{0_R\})(ab \neq 0_R)</math> 也常写作 <math>(\forall b\in R)(ab = 0_R \rightarrow b = 0_R)</math> ，对应地 <math>(\forall b \in R\setminus \{0_R\})(ba \neq 0_R)</math> 也常写作 <math>(\forall b\in R)(ba = 0_R \rightarrow b = 0_R)</math> 。

== 性质 ==

对环 <math>R</math> 及元素 <math>a\in R</math> ，以下命题等价：
* <math>a</math> 是 <math>R</math> 中的左（右）非零因子。
* 左（右）乘以 <math>a</math> 的运算 <math>x \mapsto ax</math> （<math>x \mapsto xa</math>）是一个[[单射]]。
* 元素 <math>a</math> 左（右）[[可消去]]。


{{环与模与域}}