非零因子
| 非零因子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 非零因子 |
| 英语名称 | non-zero-divisor |
| 别名 | 正则元, regular element, cancellable element |
| 左非零因子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 左非零因子 |
| 英语名称 | left-non-zero-divisor |
| 别名 | 左正则元, left regular element, left cancellable element |
| 右非零因子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 右非零因子 |
| 英语名称 | right-non-zero-divisor |
| 别名 | 右正则元, right regular element, cancellable element |
非零因子(non-zero-divisor)/正则元(regular element)指环中不是零因子的元素，也说这些元素是正则的(regular)。
对于不是左零因子或右零因子的情况也对应地叫左非零因子(left-non-zero-divisor)或右非零因子(right-non-zero-divisor)。
定义
对环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 及元素 [math]\displaystyle{ a\in R }[/math] ：
- 若 [math]\displaystyle{ (\forall b \in R \setminus \{0_R\})(ab \neq 0_R) }[/math] ，称元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中的一个左非零因子(left-non-zero-divisor)/左正则元，或者说 [math]\displaystyle{ a }[/math] 在环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中是左正则的(left regular)；
- 若 [math]\displaystyle{ (\forall b \in R \setminus \{0_R\})(ba \neq 0_R) }[/math] ，称元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中的一个右非零因子(right-non-zero-divisor)/右正则元，或者说 [math]\displaystyle{ a }[/math] 在环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中是右正则的(right regular)；
- 若 [math]\displaystyle{ a }[/math] 在 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中同时是左右非零因子，称元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中的一个非零因子(non-zero-divisor)/正则元，或者说 [math]\displaystyle{ a }[/math] 在环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中是正则的(regular)。
注：左非零因子的否定是左零因子，右非零因子的否定是右零因子，非零因子/正则元的否定是零因子。
注： [math]\displaystyle{ (\forall b \in R \setminus \{0_R\})(ab \neq 0_R) }[/math] 也常写作 [math]\displaystyle{ (\forall b\in R)(ab = 0_R \rightarrow b = 0_R) }[/math] ，对应地 [math]\displaystyle{ (\forall b \in R\setminus \{0_R\})(ba \neq 0_R) }[/math] 也常写作 [math]\displaystyle{ (\forall b\in R)(ba = 0_R \rightarrow b = 0_R) }[/math] 。
性质
对环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 及元素 [math]\displaystyle{ a\in R }[/math] ，以下命题等价：