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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=柯西定理
|eng_name=Cauchy's theorem
}}
'''<ins>柯西</ins>定理'''是关于[[有限群]]存在任意[[质数|质]][[整除关系|因子]][[阶（群）|阶]][[子群]]的定理。

== 定理 ==

对有限群 <math>G</math> ，存在质数 <math>p \mid |G| </math> ，则存在子群 <math>H<G</math> 满足 <math>\operatorname{ord}H = p</math> 。

== 构造 ==

在群 <math>G</math> 中考虑 <math>p</math>-元组的集合 <math>S=\left\{(a_1,a_2,\dots,a_p)\in G^p \mid a_1 a_2 \dots a_p = e_G\right\}</math> ，则存在 <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> 的元素在 <math>S</math> 上的作用 <math>[m]_p,(a_1, a_2, \dots, a_p) \mapsto </math> 。

由于群作用本身是个 <math>p</math>-群，对[[不动点（群作用）|不动点集]]有 <math>|\mathrm{Fix}_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}(S)|\equiv |S| \pmod p</math> 。由于 <math>p \mid |G|</math> ， <math>|S| \equiv |G|^{p-1} \equiv 0 \pmod p</math> 。因此必有 <math>p \mid |\mathrm{Fix}_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}(S)|</math> 。

显然这个作用下不动点必有形式 <math>(a,a,\dots,a)</math> ，且 <math>(e_G,e_G,\dots,e_G)</math> 必然是一个不动点，因此不动点集的元素至少有 <math>p\geq 2</math> 个元素，因此必然含有一个元素 <math>(a,a,\dots,a),a\neq e_G</math> 。

因此必然存在 <math>a^p=e_G,a\neq e_G</math> ，其阶为 <math>p</math> 。

== 推论 ==

对有限群 <math>G</math> ，存在质数 <math>p \mid |G| </math> ，则群中至少存在一个阶数为 p 的元素，且其生成一个满足上述条件的循环群。
全部 <math>p</math> 阶循环子群的总数满足 <math>n = 1 \pmod p</math> 。


{{有限群理论}}