Cauchy 定理（有限群）
| 柯西定理 | |
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| 术语名称 | 柯西定理 |
| 英语名称 | Cauchy's theorem |
定理
对有限群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，存在质数 [math]\displaystyle{ p \mid |G| }[/math] ，则存在子群 [math]\displaystyle{ H\lt G }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}H = p }[/math] 。
构造
在群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中考虑 [math]\displaystyle{ p }[/math]-元组的集合 [math]\displaystyle{ S=\left\{(a_1,a_2,\dots,a_p)\in G^p \mid a_1 a_2 \dots a_p = e_G\right\} }[/math] ，则存在 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} }[/math] 的元素在 [math]\displaystyle{ S }[/math] 上的作用 [math]\displaystyle{ [m]_p,(a_1, a_2, \dots, a_p) \mapsto }[/math] 。
由于群作用本身是个 [math]\displaystyle{ p }[/math]-群，对不动点集有 [math]\displaystyle{ |\mathrm{Fix}_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}(S)|\equiv |S| \pmod p }[/math] 。由于 [math]\displaystyle{ p \mid |G| }[/math] ， [math]\displaystyle{ |S| \equiv |G|^{p-1} \equiv 0 \pmod p }[/math] 。因此必有 [math]\displaystyle{ p \mid |\mathrm{Fix}_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}(S)| }[/math] 。
显然这个作用下不动点必有形式 [math]\displaystyle{ (a,a,\dots,a) }[/math] ，且 [math]\displaystyle{ (e_G,e_G,\dots,e_G) }[/math] 必然是一个不动点，因此不动点集的元素至少有 [math]\displaystyle{ p\geq 2 }[/math] 个元素，因此必然含有一个元素 [math]\displaystyle{ (a,a,\dots,a),a\neq e_G }[/math] 。
因此必然存在 [math]\displaystyle{ a^p=e_G,a\neq e_G }[/math] ，其阶为 [math]\displaystyle{ p }[/math] 。
推论
对有限群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，存在质数 [math]\displaystyle{ p \mid |G| }[/math] ，则群中至少存在一个阶数为 p 的元素，且其生成一个满足上述条件的循环群。 全部 [math]\displaystyle{ p }[/math] 阶循环子群的总数满足 [math]\displaystyle{ n = 1 \pmod p }[/math] 。
| 有限群理论 | ||||||
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| 子群存在性 | ||||||
| 特殊阶数群 | [math]\displaystyle{ p }[/math]-群 | [math]\displaystyle{ pq }[/math]-群 | ||||
| 特殊阶数子群 | 类方程 | Cauchy 定理 | Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群 | Sylow 第二定理 | Sylow 第三定理 | |
| 由单群合成 | ||||||
| 逐层构造 | 次正规列、正规列、因子 | 单群、合成列 | ||||
| Zassenhaus 引理 | Schreier 细化定理 | Jordan–Hölder 定理 | ||||
| 组合方式 | 群正合列 | 群直积（群内直积）、群半直积 | 群短正合列 | 群扩张 | ||
| 交换的对称性 | ||||||
| 交换性成分 | 换位子、导群 | 导列 | 可解群 | |||