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[[分类:群论]]
[[分类:以 Cayley 命名]]
{{InfoBox
|name=凯莱定理
|eng_name=Cayley's theorem
}}
'''<ins>凯莱</ins>定理'''('''Cayley's theorem''')指[[群]]总是同构于某个[[置换群]]。或者说[[群同构|同构]]于某个[[对称群]]的一个[[子集]]。或者说在某个群上的[[群作用]]是[[忠实（群作用）|忠实的]]。

== 定理 ==

以下几个描述等价：
* 群总是同构于某个置换群。对群 <math>G</math> ，存在集合 <math>A</math> 及其上对称群 <math>\mathrm{Sym}(A)</math> 的子集 <math>M</math> ，使得 <math>G \cong M \leq \mathrm{Sym}(A)</math> 。
* 群总在某个集合上的作用是忠实的。对群 <math>G</math> ，存在集合 <math>A</math> 及其上对称群 <math>\mathrm{Sym}(A)</math> ，使得映射 <math>G\to \mathrm{Sym}(A)</math> 是一个[[单同态]]。

注：
* 其中 <math>A</math> 取 <math>G</math> 时即成立。对一些特殊情况，可能有更小的集合。
* 对含 <math>n</math> 个元素的集合 <math>A</math> ，对称群就同构于 <math>S_n</math> ，可以直接表述为 <math>S_n</math> 的子群。但这一定理对无限群和无限集合也成立。


{{群论}}