Cayley 定理
| 凯莱定理 | |
|---|---|
| 术语名称 | 凯莱定理 |
| 英语名称 | Cayley's theorem |
凯莱定理(Cayley's theorem)指群总是同构于某个置换群。或者说同构于某个对称群的一个子集。或者说在某个群上的群作用是忠实的。
定理
以下几个描述等价：
- 群总是同构于某个置换群。对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，存在集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 及其上对称群 [math]\displaystyle{ \mathrm{Sym}(A) }[/math] 的子集 [math]\displaystyle{ M }[/math] ，使得 [math]\displaystyle{ G \cong M \leq \mathrm{Sym}(A) }[/math] 。
- 群总在某个集合上的作用是忠实的。对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，存在集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 及其上对称群 [math]\displaystyle{ \mathrm{Sym}(A) }[/math] ，使得映射 [math]\displaystyle{ G\to \mathrm{Sym}(A) }[/math] 是一个单同态。
注：
- 其中 [math]\displaystyle{ A }[/math] 取 [math]\displaystyle{ G }[/math] 时即成立。对一些特殊情况，可能有更小的集合。
- 对含 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素的集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，对称群就同构于 [math]\displaystyle{ S_n }[/math] ，可以直接表述为 [math]\displaystyle{ S_n }[/math] 的子群。但这一定理对无限群和无限集合也成立。