查看“︁Cayley 表”︁的源代码

[[分类:群论]]
[[分类:以 Cayley 命名]]
{{InfoBox
|name=凯莱表
|eng_name=Cayley table
|aliases=乘法表,multiplication table,加法表,addition table,运算表,群表
}}
{{#seo:
|keyword=凯莱表, 运算表, 乘法表, 群表
|description=将群中所有可能运算的结果以表格方式列出可以直观看出一些性质，这样的表称为凯莱表、运算表、乘法表、群表等。其中元素都是群中元素，且每行每列中每个元素都出现且仅出现一次，称为重排定理或数独规则。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2024-10-29
}}
'''<ins>凯莱</ins>表'''('''Cayley table''')/'''运算表'''/'''群表'''指将[[有限群]]中全体元素在群运算下的全部结果列出的表。
根据群运算被写作加法和乘法也对应地叫做'''加法表'''和'''乘法表'''。

从<ins>凯莱</ins>表中可以比较容易地发现元素个数较少的群的一些性质。

严格地说，尽管是研究有限群的工具，<ins>凯莱</ins>表也可用于具有任意二元运算的结构。

== 描述 ==

对 <math>n</math> 阶群 <math>G</math> ，列出其中元素为 <math>g_1, \dots, g_n</math> 。在一个 <math>n\times n</math> 表格中，在第 <math>i</math> 行、第 <math>j</math> 列位置列出 <math>g_i g_j</math> 的取值，称为'''凯莱表'''/'''运算表'''('''Cayley table'''。

习惯上，会把幺元放在第一个位置，然后以某种顺序列出各个元素，举例如下。

<math>
\begin{array}{c|ccccc}
\cdot & e & g_1 & g_2  & \dots & g_n \\\hline
e & e & g_1 & g_2  & \dots & g_n \\
g_1 & g_1 & g_1^2 & g_1 g_2 & \dots & g_1 g_n \\
g_2 & g_2 & g_2 g_1 & g_2^2 & \dots & g_2 g_n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
g_n & g_n & g_n g_1 & g_n g_2 & \dots & g_n^2 \\ 
\end{array}
</math>

== 性质 ==

* 凯莱表的每个格子都有元素（运算是[[函数]]而非[[部分函数]]）且是群中的元素（[[封闭性]]）。
* [[重排定理]]（“数独规则”）：每行（列）都是群元素的一个[[排列]]，即每个元素都出现恰好一次（消去律）。
* [[幺元]]所在行列与表头相同（幺元定义）。表格中每行每列都出现一次幺元，行列所对应元素互为逆元（逆元定义）。
* 若凯莱表沿对角线对称，则运算有[[交换性]]。


{{群}}