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[[分类:命题逻辑定理]]
[[分类:谓词逻辑定理]]
[[分类:模态逻辑定理]]{{DEFAULTSORT:de morgan lu:4}}
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|keywords=德摩根律,de Morgan 律
|description=德摩根律是命题逻辑的重要定理，描述了否定词对合取和析取的分配规律，包括两条等价关系：¬(P∧Q)↔(¬P∨¬Q)和¬(P∨Q)↔(¬P∧¬Q)。
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|published_time=2025-11-23
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|name=德摩根律
|eng-name=De Morgan's law
|aliases=德摩根定理,De Morgan's theorem
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'''德摩根律'''('''De Morgan's law'''s)是命题逻辑的重要定理之一，描述了[[命题]]间[[否定]]、[[合取]]和[[析取]]三个[[逻辑联结词]]的关系，即否定一个合取命题等价于析取两个命题的分别否定，否定一个析取命题等价于合取两个命题的分别否定。这一定理也可以扩展到命题逻辑的[[量词]]和模态逻辑的模态词上。

== 定理 ==

以下两条永真式称为'''德摩根律'''('''De Morgan's law'''s)：
* 合取的德摩根律： <math>\vDash \lnot (P \land Q) \leftrightarrow (\lnot P \lor \lnot Q)</math>
* 析取的德摩根律： <math>\vDash \lnot (P \lor Q) \leftrightarrow (\lnot P \land \lnot Q)</math>

每条定律都包含两个方向：

* 消去方向：
** <math>\vDash \lnot (P \land Q) \rightarrow (\lnot P \lor \lnot Q)</math> ；
** <math>\vDash \lnot (P \lor Q) \rightarrow (\lnot P \land \lnot Q)</math> ；
* 引入方向：
** <math>\vDash (\lnot P \land \lnot Q) \rightarrow \lnot (P \lor Q)</math> ；
** <math>\vDash (\lnot P \lor \lnot Q) \rightarrow \lnot (P \land Q)</math> 。

=== 广义德摩根律 ===

以下永真式称为'''广义德摩根律'''('''generalized De Morgan's law'''s)：
* 合取的德摩根律： <math>\vDash \lnot (P_1 \land P_2 \land \cdots \land P_n) \leftrightarrow (\lnot P_1 \lor \lnot P_2 \lor \cdots \lor \lnot P_n)</math> 。
* 析取的德摩根律： <math>\vDash \lnot (P_1 \lor P_2 \lor \cdots \lor P_n) \leftrightarrow (\lnot P_1 \land \lnot P_2 \land \cdots \land \lnot P_n)</math> 。

=== 谓词逻辑德摩根律 ===

在谓词逻辑中，以下永真式称为'''量词的德摩根律'''('''De Morgan's laws for quantifiers''')：
* 全称量词的德摩根律： <math>\vDash \lnot \forall x p(x) \leftrightarrow \exists x \lnot p(x)</math> 。
* 存在量词的德摩根律： <math>\vDash \lnot \exists x p(x) \leftrightarrow \forall x \lnot p(x)</math> 。

=== 模态逻辑德摩根律 ===

在模态逻辑中，以下永真式称为模态词的德摩根律：
* 必然算子的德摩根律： <math>\vDash \lnot \Box P \leftrightarrow \Diamond \lnot P</math> 。
* 可能算子的德摩根律： <math>\vDash \lnot \Diamond P \leftrightarrow \Box \lnot P</math> 。

== 意义 ==

* 在古典逻辑中，德摩根律提供了否定词与连接词之间关系的基本规律：
** 它表明否定词可以"分配"到括号内，但需要将 ∧ 变为 ∨ ， ∨ 变为 ∧ ；
** 为逻辑表达式的化简和[[范式（命题公式）|范式]]转换提供了理论基础。
* 在[[自然演绎系统]]中，德摩根律对应四条重要的推理规则：
** <math>\lnot (P \land Q) \vdash \lnot P \lor \lnot Q</math>
** <math>\lnot P \lor \lnot Q \vdash \lnot (P \land Q)</math>
** <math>\lnot (P \lor Q) \vdash \lnot P \land \lnot Q</math>
** <math>\lnot P \land \lnot Q \vdash \lnot (P \lor Q)</math>

== 非经典逻辑中的情况 ==

* 经典逻辑：德摩根律是重要定理，包括两个方向的等价关系。
* 直觉主义逻辑：仅接受其中三个形式：
** <math>\lnot (P \lor Q) \leftrightarrow (\lnot P \land \lnot Q)</math> 的两个方向；
** <math>\lnot P \lor \lnot Q \rightarrow \lnot (P \land Q)</math> 。
* 多值逻辑：需要依赖算子间的对偶情况。
* 模糊逻辑：只要否定、合取、析取算子的定义满足对偶关系则仍成立。