De Morgan 律（逻辑）
| 德摩根律 | |
|---|---|
| 术语名称 | 德摩根律 |
| 英语名称 | |
| 别名 | 德摩根定理, De Morgan's theorem |
德摩根律(De Morgan's laws)是命题逻辑的重要定理之一，描述了命题间否定、合取和析取三个逻辑联结词的关系，即否定一个合取命题等价于析取两个命题的分别否定，否定一个析取命题等价于合取两个命题的分别否定。这一定理也可以扩展到命题逻辑的量词和模态逻辑的模态词上。
定理
以下两条永真式称为德摩根律(De Morgan's laws)：
- 合取的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot (P \land Q) \leftrightarrow (\lnot P \lor \lnot Q) }[/math]
- 析取的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot (P \lor Q) \leftrightarrow (\lnot P \land \lnot Q) }[/math]
每条定律都包含两个方向：
- 消去方向：
- [math]\displaystyle{ \vDash \lnot (P \land Q) \rightarrow (\lnot P \lor \lnot Q) }[/math] ；
- [math]\displaystyle{ \vDash \lnot (P \lor Q) \rightarrow (\lnot P \land \lnot Q) }[/math] ；
- 引入方向：
- [math]\displaystyle{ \vDash (\lnot P \land \lnot Q) \rightarrow \lnot (P \lor Q) }[/math] ；
- [math]\displaystyle{ \vDash (\lnot P \lor \lnot Q) \rightarrow \lnot (P \land Q) }[/math] 。
广义德摩根律
以下永真式称为广义德摩根律(generalized De Morgan's laws)：
- 合取的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot (P_1 \land P_2 \land \cdots \land P_n) \leftrightarrow (\lnot P_1 \lor \lnot P_2 \lor \cdots \lor \lnot P_n) }[/math] 。
- 析取的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot (P_1 \lor P_2 \lor \cdots \lor P_n) \leftrightarrow (\lnot P_1 \land \lnot P_2 \land \cdots \land \lnot P_n) }[/math] 。
谓词逻辑德摩根律
在谓词逻辑中，以下永真式称为量词的德摩根律(De Morgan's laws for quantifiers)：
- 全称量词的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot \forall x p(x) \leftrightarrow \exists x \lnot p(x) }[/math] 。
- 存在量词的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot \exists x p(x) \leftrightarrow \forall x \lnot p(x) }[/math] 。
模态逻辑德摩根律
在模态逻辑中，以下永真式称为模态词的德摩根律：
- 必然算子的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot \Box P \leftrightarrow \Diamond \lnot P }[/math] 。
- 可能算子的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot \Diamond P \leftrightarrow \Box \lnot P }[/math] 。
意义
- 在古典逻辑中，德摩根律提供了否定词与连接词之间关系的基本规律：
- 它表明否定词可以"分配"到括号内，但需要将 ∧ 变为 ∨ ， ∨ 变为 ∧ ；
- 为逻辑表达式的化简和范式转换提供了理论基础。
- 在自然演绎系统中，德摩根律对应四条重要的推理规则：
- [math]\displaystyle{ \lnot (P \land Q) \vdash \lnot P \lor \lnot Q }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lnot P \lor \lnot Q \vdash \lnot (P \land Q) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lnot (P \lor Q) \vdash \lnot P \land \lnot Q }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lnot P \land \lnot Q \vdash \lnot (P \lor Q) }[/math]
非经典逻辑中的情况
- 古典逻辑：完全接受德摩根律的所有形式，包括两个方向的等价关系。
- 直觉主义逻辑：仅接受其中三个形式：
- [math]\displaystyle{ \lnot (P \lor Q) \leftrightarrow (\lnot P \land \lnot Q) }[/math] 的两个方向；
- [math]\displaystyle{ \lnot P \lor \lnot Q \rightarrow \lnot (P \land Q) }[/math] 。
- 多值逻辑：需要依赖算子间的对偶情况。
- 模糊逻辑：只要否定、合取、析取算子的定义满足对偶关系则仍成立。