查看“︁Dirichlet 卷积”︁的源代码

[[分类:数论函数]]
[[分类:交换环实例]]
[[分类:以 Dirichlet 命名]]
{{InfoBox
|name=狄利克雷卷积
|eng_name=Dirichlet convolution
|aliases=divisor convolution,卷积,convolution
}}
'''<ins>狄利克雷</ins>卷积'''('''Dirichlet convolution''')是[[数论函数]]上的二元[[运算]]。也简称为'''卷积'''。

== 定义 ==

{{Operation
|name=Dirichlet 卷积
|symbol=<math>*</math>
|latex=*
|operand=数论函数
|result=数论函数
|prototype=交换幺半群
|domain=<math>\mathbb{C}^\mathbb{N} \times \mathbb{C}^\mathbb{N}</math>
|codomain=<math>\mathbb{C}^\mathbb{N}</math>
}}
对数论函数 <math>f(n)</math> 和 <math>g(n)</math> ，定义数论函数 <math>f*g</math> 满足：

<math>(f*g)(n) = \sum_{d\mid n} f(d) g\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d\mid n} f\left(\frac{n}{d}\right) g(n) = \sum_{ab = n} f(a) g(b)</math>

其中 <math>\sum_{d\mid n}</math> 代表对所有的正因数求和， <math>\sum_{ab\mid n}</math> 代表对乘积为 <math>n</math> 的所有不同有序对 <math>(a,b)</math> 求和。
称这一函数为函数 <math>f</math> 和函数 <math>g</math> 的'''<ins>狄利克雷</ins>卷积'''('''Dirichlet convolution''')，简称'''卷积'''，记作 <math>f*g</math> 。

== 性质 ==

{{InfoBox
|name=狄利克雷环
|eng_name=Dirichlet ring
}}
Dirichlet 卷积与函数的逐点加法构成[[交换环]]，称为 '''<ins>狄利克雷</ins>环'''('''Dirichlet ring''')。也就是说运算满足：
* [[结合律]]：<math>(f*g)*h=f*(g*h)</math> 。
* 对逐点加法的[[分配律]]：<math>f*(g+h)=f*g+f*h</math> 。
* 交换律：<math>f*g = g*f</math> 。
* 有[[幺元]]：存在函数 <math>\epsilon</math> 满足 <math>\epsilon * f = f * \epsilon = f</math> ，见 [[Dirichlet 卷积幺元]]。
对环中满足 <math>f(1)\neq 0</math> 的任意元素都有关于 Dirichlet 卷积的逆元，称为 [[Dirichlet 逆]]。


{{数论函数}}