Dirichlet 卷积
| 狄利克雷卷积 | |
|---|---|
| 术语名称 | 狄利克雷卷积 |
| 英语名称 | Dirichlet convolution |
| 别名 | divisor convolution, 卷积, convolution |
狄利克雷卷积(Dirichlet convolution)是数论函数上的二元运算。也简称为卷积。
定义
| Dirichlet 卷积 | |
|---|---|
| 运算名称 | Dirichlet 卷积 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ * }[/math] |
| Latex | *
|
| 运算对象 | 数论函数 |
| 运算元数 | 2 |
| 运算结果 | 数论函数 |
| 结构 | 交换幺半群 |
| 定义域 | [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^\mathbb{N} \times \mathbb{C}^\mathbb{N} }[/math] |
| 陪域 | [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^\mathbb{N} }[/math] |
对数论函数 [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ g(n) }[/math] ，定义数论函数 [math]\displaystyle{ f*g }[/math] 满足：
[math]\displaystyle{ (f*g)(n) = \sum_{d\mid n} f(d) g\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d\mid n} f\left(\frac{n}{d}\right) g(n) = \sum_{ab = n} f(a) g(b) }[/math]
其中 [math]\displaystyle{ \sum_{d\mid n} }[/math] 代表对所有的正因数求和， [math]\displaystyle{ \sum_{ab\mid n} }[/math] 代表对乘积为 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的所有不同有序对 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] 求和。 称这一函数为函数 [math]\displaystyle{ f }[/math] 和函数 [math]\displaystyle{ g }[/math] 的狄利克雷卷积(Dirichlet convolution)，简称卷积，记作 [math]\displaystyle{ f*g }[/math] 。
性质
| 狄利克雷环 | |
|---|---|
| 术语名称 | 狄利克雷环 |
| 英语名称 | Dirichlet ring |
Dirichlet 卷积与函数的逐点加法构成交换环，称为 狄利克雷环(Dirichlet ring)。也就是说运算满足：
- 结合律：[math]\displaystyle{ (f*g)*h=f*(g*h) }[/math] 。
- 对逐点加法的分配律：[math]\displaystyle{ f*(g+h)=f*g+f*h }[/math] 。
- 交换律：[math]\displaystyle{ f*g = g*f }[/math] 。
- 有幺元：存在函数 [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \epsilon * f = f * \epsilon = f }[/math] ，见 Dirichlet 卷积幺元。
对环中满足 [math]\displaystyle{ f(1)\neq 0 }[/math] 的任意元素都有关于 Dirichlet 卷积的逆元，称为 Dirichlet 逆。