查看“︁Dirichlet 特征”︁的源代码

[[分类:数论函数]]
{{InfoBox
|name=狄利克雷特征
|eng_name=Dirichlet character
}}
{{InfoBox
|name=主特征
|eng_name=principal character
}}
'''<ins>狄利克雷</ins>特征'''('''Dirichlet character''')指[[数论函数]]满足仅在[[简化剩余系]]上非零且满足完全乘性，或这样的[[数论函数]]。

== 定义 ==

对 <math>k\geq 1</math> 和[[整数集]]到[[复数集]]的不恒为零的数论函数 <math>\chi(n)</math> ，如果满足以下条件：
* <math>\chi(n)=0 \Leftrightarrow \operatorname{gcd}(n,k)>1</math>
* <math>\chi(n)</math> 的[[周期]]为 <math>k</math> ，即 <math>\chi(n+k)=\chi(n)</math>
* <math>\chi(n)</math> 是[[完全乘性函数]]。
则称 <math>\chi(n)</math> 为模 <math>k</math> 的'''<ins>狄利克雷</ins>特征'''('''Dirichlet character''' of modulus <math>k</math>)或模 <math>k</math> 的剩余特征，简称模 <math>k</math> 的'''特征'''，记作 <math>\chi(n)</math> 或 <math>\chi(n;k)</math> 。

如果值域都在[[实数集]]上，则称为'''实特征'''，否则称为'''复特征'''。

=== 主特征 ===

在全部简化剩余系上取 1 的函数，

<math>\chi_0(n)=\begin{cases}
0 &, \operatorname{gcd}(n,k)>1 \\
1 &, \operatorname{gcd}(n,k)=1 \\
\end{cases}</math>

是一个模 <math>k</math> 的特征，称为模 <math>k</math> 的'''主特征'''('''principal character''')，常记作 <math>\chi_0(n)</math> 或 <math>\chi_0(n;k)</math> 。

== 性质 ==

=== 基本性质 ===

由完全乘性及 <math>(\forall k)(\operatorname{gcd}(1,k)=1\neq 0) \Rightarrow \chi(1)\neq 0</math> 知 <math>\chi(1)=1</math> 。

由完全乘性 <math>(\chi(n))^{\varphi(k)} = \chi(n^{\varphi(k)})</math> ，结合周期性就有 <math>=\chi(1)=1</math> 。

=== 相同模 ===

（复）特征的[[复共轭]]也是特征，称为'''共轭特征'''，满足 <math>\bar\chi(n)=\chi(n^{-1})</math> ，且 <math>\chi \bar\chi = \chi_0</math> 。

两个模 <math>k</math> 特征的乘积也是模 <math>k</math> 的特征。

若把模 <math>k</math> 的全部特征记作 <math>\chi_0, \chi_1, \dots, \chi_h</math> ，则有 <math>\bar\chi_0, \bar\chi_1, \dots, \bar\chi_h</math> 也是模 <math>k</math> 的全部特征；对任意取定的特征 <math>\bar\chi</math> ， <math>\bar\chi \chi_0, \bar\chi \chi_1, \dots, \bar\chi \chi_h</math> 也是模 <math>k</math> 的全部特征。

这表明同模数的特征之间构成一个乘法群，主特征是其中的幺元。

=== 不同模 ===

若 <math>k_1 \mid k_2</math> 且两数有相同质因数，则模 <math>k_1</math> 的特征就是模 <math>k_2</math> 的特征。

对模 <math>k_1</math> 的特征 <math>\chi_1</math> 和模 <math>k_2</math> 的特征 <math>\chi_2</math> ，乘积 <math>\chi_1\chi_2</math> 是一个模 <math>\operatorname{lcm}(k_1,k_2)</math> 的特征。


{{数论函数}}

== 琐事 ==

=== 记号 ===

字母 χ 代表 character 。