Dirichlet 特征

狄利克雷特征
术语名称	狄利克雷特征
英语名称	Dirichlet character

主特征
术语名称	主特征
英语名称	principal character

狄利克雷特征(Dirichlet character)指数论函数满足仅在简化剩余系上非零且满足完全乘性，或这样的数论函数。

定义

对 [math]\displaystyle{ k\geq 1 }[/math] 和整数集到复数集的不恒为零的数论函数 [math]\displaystyle{ \chi(n) }[/math] ，如果满足以下条件：

[math]\displaystyle{ \chi(n)=0 \Leftrightarrow \operatorname{gcd}(n,k)\gt 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \chi(n) }[/math] 的周期为 [math]\displaystyle{ k }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ \chi(n+k)=\chi(n) }[/math]
[math]\displaystyle{ \chi(n) }[/math] 是完全乘性函数。

则称 [math]\displaystyle{ \chi(n) }[/math] 为模 [math]\displaystyle{ k }[/math] 的狄利克雷特征(Dirichlet character of modulus [math]\displaystyle{ k }[/math])或模 [math]\displaystyle{ k }[/math] 的剩余特征，简称模 [math]\displaystyle{ k }[/math] 的特征，记作 [math]\displaystyle{ \chi(n) }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \chi(n;k) }[/math] 。

如果值域都在实数集上，则称为实特征，否则称为复特征。

主特征

在全部简化剩余系上取 1 的函数，

[math]\displaystyle{ \chi_0(n)=\begin{cases} 0 &, \operatorname{gcd}(n,k)\gt 1 \\ 1 &, \operatorname{gcd}(n,k)=1 \\ \end{cases} }[/math]

是一个模 [math]\displaystyle{ k }[/math] 的特征，称为模 [math]\displaystyle{ k }[/math] 的主特征(principal character)，常记作 [math]\displaystyle{ \chi_0(n) }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \chi_0(n;k) }[/math] 。

性质

基本性质

由完全乘性及 [math]\displaystyle{ (\forall k)(\operatorname{gcd}(1,k)=1\neq 0) \Rightarrow \chi(1)\neq 0 }[/math] 知 [math]\displaystyle{ \chi(1)=1 }[/math] 。

由完全乘性 [math]\displaystyle{ (\chi(n))^{\varphi(k)} = \chi(n^{\varphi(k)}) }[/math] ，结合周期性就有 [math]\displaystyle{ =\chi(1)=1 }[/math] 。

相同模

（复）特征的复共轭也是特征，称为共轭特征，满足 [math]\displaystyle{ \bar\chi(n)=\chi(n^{-1}) }[/math] ，且 [math]\displaystyle{ \chi \bar\chi = \chi_0 }[/math] 。

两个模 [math]\displaystyle{ k }[/math] 特征的乘积也是模 [math]\displaystyle{ k }[/math] 的特征。

若把模 [math]\displaystyle{ k }[/math] 的全部特征记作 [math]\displaystyle{ \chi_0, \chi_1, \dots, \chi_h }[/math] ，则有 [math]\displaystyle{ \bar\chi_0, \bar\chi_1, \dots, \bar\chi_h }[/math] 也是模 [math]\displaystyle{ k }[/math] 的全部特征；对任意取定的特征 [math]\displaystyle{ \bar\chi }[/math] ， [math]\displaystyle{ \bar\chi \chi_0, \bar\chi \chi_1, \dots, \bar\chi \chi_h }[/math] 也是模 [math]\displaystyle{ k }[/math] 的全部特征。

这表明同模数的特征之间构成一个乘法群，主特征是其中的幺元。

不同模

若 [math]\displaystyle{ k_1 \mid k_2 }[/math] 且两数有相同质因数，则模 [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] 的特征就是模 [math]\displaystyle{ k_2 }[/math] 的特征。

对模 [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] 的特征 [math]\displaystyle{ \chi_1 }[/math] 和模 [math]\displaystyle{ k_2 }[/math] 的特征 [math]\displaystyle{ \chi_2 }[/math] ，乘积 [math]\displaystyle{ \chi_1\chi_2 }[/math] 是一个模 [math]\displaystyle{ \operatorname{lcm}(k_1,k_2) }[/math] 的特征。

数论函数
分类	加性函数	完全加性函数
分类	乘性函数	完全乘性函数
性质	Möbius 反演（Möbius 变换、 Möbius 逆变换）
性质	Dirichlet 卷积
常见数论函数
除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_k(n) }[/math]	除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_0(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ d(n) }[/math]	除数和函数 [math]\displaystyle{ \sigma_1(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]
Euler 函数	Euler 函数 [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math]	Carmichael 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
二次剩余相关符号	Legendre 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{p}) }[/math]	Jacobi 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{d}) }[/math]
乘法阶数与指标	乘法阶数 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}_{m} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \delta_{m}(n) }[/math]	指标 [math]\displaystyle{ \operatorname{ind}_{g} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \gamma_{m,g}(n) }[/math]
其他	相异质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \omega(n) }[/math]	质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \Omega(n) }[/math]、Liouville 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
	质数计数函数 [math]\displaystyle{ \pi(n) }[/math]	Чебышёв 第一函数 [math]\displaystyle{ \theta(n) }[/math]、第二函数 [math]\displaystyle{ \psi(n) }[/math]、Mangoldt 函数 [math]\displaystyle{ \Lambda(n) }[/math]
	Möbius 函数 [math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math]
	Dirichlet 特征 [math]\displaystyle{ \chi(n;m) }[/math]

琐事

记号

字母 χ 代表 character 。