查看“︁Gauss 二次互反律”︁的源代码

[[分类:同余理论]]
[[分类:以 Gauss 命名]]
{{InfoBox
|name=二次互反律
|eng_name=law of quadratic reciprocity
|aliases=高斯二次互反律
}}
'''<ins>高斯</ins>二次互反律'''或'''二次互反律'''('''law of quadratic reciprocity''')是关于奇[[质数]]间是否是[[二次剩余]]关系的理论。

== 定理 ==

对不同奇质数 <math>p</math> 、 <math>q</math> ，有

<math>\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}</math>

其中 <math>\left(\frac{p}{q}\right)</math> 和 <math>\left(\frac{q}{p}\right)</math> 都是[[Legendre 符号|<ins>勒让德</ins>符号]]。

=== 其他表述 ===

* 对不同奇质数 <math>p</math> 、 <math>q</math> ，若 <math>p \equiv 1 \pmod 4</math> 或 <math>q\equiv 1 \pmod 4</math> ，同余方程 <math>x^2 \equiv p \pmod q</math> 有解当且仅当同余方程 <math>x^2 \equiv q \pmod p</math> 有解；若 <math>p \equiv 3 \pmod 4</math> 且 <math>q\equiv 3 \pmod 4</math> ，同余方程 <math>x^2 \equiv p \pmod q</math> 有解当且仅当同余方程 <math>x^2 \equiv -q \pmod p</math> 有解。

* 对不同奇质数 <math>p</math> 、 <math>q</math> ，若 <math>p \equiv 1 \pmod 4</math> 或 <math>q\equiv 1 \pmod 4</math> ，同余方程 <math>x^2 \equiv p \pmod q</math> 有解当且仅当同余方程 <math>x^2 \equiv q \pmod p</math> 有解；若 <math>p \equiv 3 \pmod 4</math> 且 <math>q\equiv 3 \pmod 4</math> ，同余方程 <math>x^2 \equiv p \pmod q</math> 有解当且仅当同余方程 <math>x^2 \equiv -q \pmod p</math> 无解。

== 补充 ==

以下两点常用于补充<ins>高斯</ins>二次互反律，以计算任意的<ins>勒让德</ins>符号。
* <math>\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} = \begin{cases} 1 &, p\equiv 1 \pmod 4 \\ -1 &, p \equiv 3 \pmod 4 \end{cases}</math> ；
* <math>\left(\frac{2}{p}\right) =  (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} = \begin{cases} 1 &, p\equiv \pm1 \pmod 8 \\ -1 &, p \equiv \pm3 \pmod 8 \end{cases}</math> 。


{{同余理论}}