Gauss 二次互反律
| 二次互反律 | |
|---|---|
| 术语名称 | 二次互反律 |
| 英语名称 | law of quadratic reciprocity |
| 别名 | 高斯二次互反律 |
高斯二次互反律或二次互反律(law of quadratic reciprocity)是关于奇质数间是否是二次剩余关系的理论。
定理
对不同奇质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] 、 [math]\displaystyle{ q }[/math] ，有
[math]\displaystyle{ \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}} }[/math]
其中 [math]\displaystyle{ \left(\frac{p}{q}\right) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \left(\frac{q}{p}\right) }[/math] 都是勒让德符号。
其他表述
- 对不同奇质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] 、 [math]\displaystyle{ q }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod 4 }[/math] 或 [math]\displaystyle{ q\equiv 1 \pmod 4 }[/math] ，同余方程 [math]\displaystyle{ x^2 \equiv p \pmod q }[/math] 有解当且仅当同余方程 [math]\displaystyle{ x^2 \equiv q \pmod p }[/math] 有解；若 [math]\displaystyle{ p \equiv 3 \pmod 4 }[/math] 且 [math]\displaystyle{ q\equiv 3 \pmod 4 }[/math] ，同余方程 [math]\displaystyle{ x^2 \equiv p \pmod q }[/math] 有解当且仅当同余方程 [math]\displaystyle{ x^2 \equiv -q \pmod p }[/math] 有解。
- 对不同奇质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] 、 [math]\displaystyle{ q }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod 4 }[/math] 或 [math]\displaystyle{ q\equiv 1 \pmod 4 }[/math] ，同余方程 [math]\displaystyle{ x^2 \equiv p \pmod q }[/math] 有解当且仅当同余方程 [math]\displaystyle{ x^2 \equiv q \pmod p }[/math] 有解；若 [math]\displaystyle{ p \equiv 3 \pmod 4 }[/math] 且 [math]\displaystyle{ q\equiv 3 \pmod 4 }[/math] ，同余方程 [math]\displaystyle{ x^2 \equiv p \pmod q }[/math] 有解当且仅当同余方程 [math]\displaystyle{ x^2 \equiv -q \pmod p }[/math] 无解。
补充
以下两点常用于补充高斯二次互反律，以计算任意的勒让德符号。
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} = \begin{cases} 1 &, p\equiv 1 \pmod 4 \\ -1 &, p \equiv 3 \pmod 4 \end{cases} }[/math] ；
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} = \begin{cases} 1 &, p\equiv \pm1 \pmod 8 \\ -1 &, p \equiv \pm3 \pmod 8 \end{cases} }[/math] 。