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[[分类:同余理论]]
[[分类:以 Gauss 命名]]
{{InfoBox
|name=高斯引理
|eng_name=Gauss's lemma
}}
'''<ins>高斯</ins>引理'''('''Gauss's lemma''')给出一个[[整数]]是[[二次剩余]]的一个条件，可用于证明[[二次互反律]]。

== 定理 ==

对奇质数 <math>p</math> ，整数 <math>d</math> ，且 <math>p\not\mid d</math> ，
记 <math>jd, j=1,2,\dots,\tfrac{p-1}{2}</math> 的最小非负剩余 <math>t_j \equiv jd \pmod p, 0 < t_j < p</math> ，
并记这 <math>\tfrac{p-1}{2}</math> 个数中大于 <math>\tfrac{p}{2}</math> 的数有 <math>n</math> 个，
则有 <math>\left(\tfrac{d}{p}\right) = (-1)^n</math> 。
其中 <math>\left(\tfrac{d}{p}\right)</math> 是 [[Legendre 符号]]。

== 推论 ==

对奇质数 <math>p</math> ，有 <math>\left(\frac{2}{p}\right) = \begin{cases} 1 &, p\equiv \pm1 \pmod 8 \\ -1 &, p \equiv \pm3 \pmod 8 \end{cases}</math> ，也可以表达为 <math> (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} </math> 

对奇质数 <math>p</math> 有 <math>\left(\frac{d}{p}\right) = (-1)^n = (-1)^T</math> ，其中 <math>T = \sum_{j=1}^{(p-1)/2} \left[\frac{jd}{p}\right]</math> 。


{{同余理论}}