Gauss 引理（数论）
| 高斯引理 | |
|---|---|
| 术语名称 | 高斯引理 |
| 英语名称 | Gauss's lemma |
高斯引理(Gauss's lemma)给出一个整数是二次剩余的一个条件，可用于证明二次互反律。
定理
对奇质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，整数 [math]\displaystyle{ d }[/math] ，且 [math]\displaystyle{ p\not\mid d }[/math] ， 记 [math]\displaystyle{ jd, j=1,2,\dots,\tfrac{p-1}{2} }[/math] 的最小非负剩余 [math]\displaystyle{ t_j \equiv jd \pmod p, 0 \lt t_j \lt p }[/math] ， 并记这 [math]\displaystyle{ \tfrac{p-1}{2} }[/math] 个数中大于 [math]\displaystyle{ \tfrac{p}{2} }[/math] 的数有 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个， 则有 [math]\displaystyle{ \left(\tfrac{d}{p}\right) = (-1)^n }[/math] 。 其中 [math]\displaystyle{ \left(\tfrac{d}{p}\right) }[/math] 是Legendre符号。
推论
对奇质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ \left(\frac{2}{p}\right) = \begin{cases} 1 &, p\equiv \pm1 \pmod 8 \\ -1 &, p \equiv \pm3 \pmod 8 \end{cases} }[/math] ，也可以表达为 [math]\displaystyle{ (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} }[/math]
对奇质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] 有 [math]\displaystyle{ \left(\frac{d}{p}\right) = (-1)^n = (-1)^T }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ T = \sum_{j=1}^{(p-1)/2} \left[\frac{jd}{p}\right] }[/math] 。