查看“︁Hasse 图”︁的源代码

[[分类:序理论]]
[[分类:以 Hasse 命名]]{{DEFAULTSORT:hasse tu2}}
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|keywords=哈斯图, Hasse 图, 偏序集, 覆盖关系
|description=本文介绍哈斯图（Hasse 图）的定义、性质和绘制方法，包括哈斯图作为有限偏序集可视化工具的基本特征和作为有向图的性质。
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|published_time=2024-02-28
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{{InfoBox
|name=哈斯图
|eng_name=Hasse diagram
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'''<ins>哈斯</ins>图'''('''Hasse diagram''')是用于可视化[[偏序集]]结构的图表。
通过省略自反边和传递边，将剩余的覆盖关系，将相邻的大小元素从上向下排列并相连。

== 图表 ==

对偏序集 <math>(P, \preceq)</math> ，记有向图 <math>(P, E)</math> 。
* 顶点集 <math>P</math> 是偏序集中的所有元素。
* 图中的有向边是所有有“覆盖”关系的两个元素构成的边。
** 定义[[严格偏序]]关系： <math>x \prec y</math> 当且仅当 <math>x \preceq y \land x \neq y</math> 。
** 定义“覆盖”关系： <math>(x,y)\in E</math> 称为 <math>y</math> 覆盖(cover) <math>x</math> ，当且仅当 <math>x \prec y \land (\lnot\exists z)(x \prec z \land z \prec y)</math>

'''Hasse 图'''('''Hasse diagram''')即为这张有向图以固定绘制方法构成的图表。
在绘制哈斯图时，通常将较大的元素置于上方，较小的元素置于下方，边的方向通过由下至上的位置关系暗示，因此尽管是有向图，通常不绘制箭头。

== 绘制规则 ==

绘制哈斯图时通常遵循以下规则：

# 若 <math>y</math> 覆盖 <math>x</math>，则将 <math>y</math> 置于 <math>x</math> 上方。
# 边通常绘制为直线段，不画箭头（方向通过由下至上的位置关系暗示）。
# 同一层次（高度）的元素尽量水平对齐。

== 性质 ==

* 和偏序的关系
** Hasse 图是省略了自反和传递可构造的边，因此原偏序关系可以通过 Hasse 图中覆盖关系的[[自反传递闭包]]恢复。
** 两个不同的元素可比当且仅当在 Hasse 图中存在一条连接它们的[[路径]]。
* 图论性质
** Hasse 图是[[有向无环图]]。
** Hasse 图可能有多个[[连通分量]]，多个连通分量间任意元素两两不可比，对应偏序集中的连通分量。
* 特殊 Hasse 图
** 全序集的 Hasse 图中所有边构成一条经过全部顶点的有向路径。

== 举例 ==

* 集合 <math>\{1,2,3\}</math> 的[[幂集]]在[[包含关系]]下的 Hasse 图是一个立方体的投影
<math>\begin{array}{ccccc}
&& \{1,2,3\} && \\
& \diagup & | & \diagdown & \\
\{1,2\} && \{2,3\} && \{3,1\} \\
| & \times & | & \times & | \\
\{2\} & & \{1\} & & \{3\} \\
& \diagdown & | & \diagup & \\
&& \varnothing && \\
\end{array}
</math>
* 整数 12 及其正因子在整除关系下的哈斯图
<math>\begin{array}{ccc}
& 12 & \\
\diagup && \diagdown \\
4 && 6 \\
| & \diagup & | \\
2 && 3 \\
\diagdown && \diagup \\
& 1 & \\
\end{array}
</math>
* 小于 10 的正整数在整除关系下的哈斯图
<math>\begin{array}{ccccc}
8 && \\
| && \\
4 && 6 && 9 \\
| & \diagup & | & \diagup && \\
2 && 3 && 5 & 7 \\
& \diagdown & | & \diagup & \diagup && \\
&& 1 &&&& \\
\end{array}
</math>


{{序理论}}