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[[分类:群论]]
[[分类:以 Klein 命名]]
{{InfoBox
|name=克莱因四元群
|eng_name=Klein four-group
|aliases=克莱因-4 群
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{{Identity
|name=Klein 四元群
|type=群
|symbol=<math>V_4</math>,<math>V</math>,<math>K_4</math>
|latex=V_4,V,K_4
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{{#seo:
|keywords=Klein 四元群, 克莱因四元群, 克莱因4群
|description=四元素集上构成群的二元运算在同构意义下存在两种，其中的非交换群、非循环群一般称为Klein四元群。是二面体群。也同构于两个二阶群的直积，类似奇偶性、符号等两个分量的对应运算都会复合这一结构。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2024-10-11
}}
含有四个元素的非[[循环群]]，其结构同构于 <math>C_2\times C_2</math> ，称为'''<ins>克莱因</ins>四元群'''('''Klein four-group''') <math>V_4</math><ref>字母 V 来自 Klein 最初给这个群起的名字 <span lang='deu' style='font-style:italic;'>Vierergruppe</span> 。</ref> 或 <math>V</math> 或 <math>K_4</math> 。

也可以描述为 4 阶二面体群 <math>D_4</math> 。

是[[交换群]]。是[[二面体群]]。

是最小的非循环群。是最小的非单群。

== 举例 ==

* 是 4 阶二面体群，即翻转和半周旋转构成的群，如矩形不动、绕中心 <math>\tfrac{1}{2}</math> 周旋转、绕过中心平行于长边的轴翻转、绕过中心平行于短边的轴翻转。菱形类似，实际上适用于一切有两条对称轴（且必定垂直）的图形。
* [[群直积]] <math>C_2 \times C_2</math> 。如点 <math>(\pm1,\pm1)</math> 关于逐分量乘法的乘法群。

== 刻画 ==

Klein 四元群中有四个元素：

* 幺元是某元素 <math>e</math> ，对应的操作是恒等操作“不变”；
* 另三个是非幺元，都在 2 次幂时回归幺元，也就是说是一种[[对合]]的运算，且第三个是前两个连续作用的结果，可表示为 <math>a, b, c=ab</math> 。

=== Cayley 表 ===

Klein 四元群的 [[Cayley 表]]如下所示：

<math>
\begin{array}{c|cccc}
\cdot & e & a & b & c \\ \hline
e & e & a & b & c \\
a & a & e & c & b \\
b & b & c & e & a \\
c & c & b & a & e \\
\end{array}
</math>

可以按照二面体群的结构可视化为：

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ <math>V</math> 群表
|-
! 复合
! 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_e}}
! 水平翻转 <br/> <math>h</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_h}}
! 垂直翻转 <br/> <math>v</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_v}}
! 半周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_r}}
|-
! 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_e}}
| 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_e}}
| 水平翻转 <br/> <math>h</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_h}}
| 垂直翻转 <br/> <math>v</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_v}}
| 半周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_r}}
|-
! 水平翻转 <br/> <math>h</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_h}}
| 水平翻转 <br/> <math>h</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_h}}
| 恒等变换 <br/> <math>h^2=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_e}}
| 半周旋转 <br/> <math>hv=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_r}}
| 垂直翻转 <br/> <math>hr=v</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_v}}
|-
! 垂直翻转 <br/> <math>v</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_v}}
| 垂直翻转 <br/> <math>v</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_v}}
| 半周旋转 <br/> <math>vh=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_r}}
| 恒等变换 <br/> <math>v^2=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_e}}
| 水平翻转 <br/> <math>vr=h</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_h}}
|-
! 半周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_r}}
| 半周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_r}}
| 垂直翻转 <br/> <math>rh=v</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_v}}
| 水平翻转 <br/> <math>rv=h</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_h}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^2=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/k4_e}}
|}

=== 内部结构 ===

考虑都拆分为两个元素表达，则 Cayley 表中可以明确看到有 <math>2\times 2</math> 的类似 <math>C_2</math> 的子结构，事实上 <math>V \cong C_2\times C_2</math> ：

<math>
\begin{array}{c|cccc}
\cdot & ee & {\color{red}ae} & {\color{blue}eb} & {\color{magenta}ab} \\ \hline
ee & ee & {\color{red}ae} & {\color{blue}eb} & {\color{magenta}ab} \\
{\color{red}ae} & {\color{red}ae} & ee & {\color{magenta}ab} & {\color{blue}eb} \\
{\color{blue}eb} & {\color{blue}eb} & {\color{magenta}ab} & ee & {\color{red}ae} \\
{\color{magenta}ab} & {\color{magenta}ab} & {\color{blue}eb} & {\color{red}ae} & ee \\
\end{array}

{\Large\quad\cong\quad}

\begin{array}{c|cc}
\cdot & e & {\color{red}a} \\ \hline
e & e & {\color{red}a} \\
{\color{red}a} & {\color{red}a} & e \\
\end{array}

{\Large\quad\times\quad}

\begin{array}{c|cc}
\cdot & e & {\color{blue}b} \\ \hline
e & e & {\color{blue}b} \\
{\color{blue}b} & {\color{blue}b} & e \\
\end{array}
</math>

=== Cayley 图 ===

是一个二面体群，有两个不同的二阶生成元，可以看成翻转和旋转，因此 [[Cayley 图]]如下图所示。

{{GiteaSvg|groups/k4_graph}}

明显存在两个完全相同的类似 <math>C_2</math> 结构，且两个结构间对应位置（由于 <math>C_2</math> 中结构上两个元素只有是否幺元的差异，只存在一个自同构，其实一定对应）通过完全相同的 <math>C_2</math> 结构关联，也可以说明其同构于 <math>C_2\times C_2</math> 。

=== 环图 ===

其子循环群结构表述为以下[[环图]]。

{{GiteaSvg|groups/k4_cycle}}

三个元素所在的极大循环子群都是由自身生成的二阶子群。

=== 群表示 ===

Klein 四元群的[[群表示]]为 <math>\langle a, b \mid a^2 = b^2 = (ab)^2 = e \rangle</math> 。

== 性质 ==

* 群
** Klein 四元群中，幺元以外的三个元素 <math>a, b, c</math> 都是二阶的。
** 二阶元的逆是自身。<br/><math>a^2 = b^2 = c^2 = e \Rightarrow a^{-1}=a, b^{-1}=b, c^{-1}=c</math> 。
** 是交换群。
* 子群结构
** [[子群]]分布：除平凡子群外，还有三个[[二阶群]]作为子群，即 <math>\{e,a\},\{e,b\},\{e,c\}</math> 。其子群格有 <math>4-(2,2,2)-1</math> 的结构。=
** [[正规子群]]：以上五个子群均正规。
** [[商群]]：平凡子群的商仍是平凡子群。考虑二阶子群，对其的商也是 <math>C_2</math> 。因此 <math>C_4</math> 是 <math>C_2</math> 通过 <math>C_2</math> 的一个[[群扩张]]；可以证明，其就是两个二阶群的[[群直积]]。
* 其他复杂结构
** 是 4 阶二面体群 <math>D_4</math> 。
* 自同态结构
** 有 16 个[[群自同态]]。幺元映射到幺元，只需要考虑 <math>a,b</math> 两个元素的去向。 1 个平凡同态 <math>g\mapsto e_V</math> ； 6 个把一个二阶元映射到幺元，一个二阶元映射到二阶元， 3 个把两个二阶元映射到同一个二阶元，分别为 <math>e,a\mapsto e, b,ab\mapsto x</math> ，和 <math>e,ab\mapsto e, a,b\mapsto x</math> ，其中 <math>x</math> 是任选的一个二阶元， <math>a,b,ab</math> 中取两个非幺元，共 <math>C_3^1 C_3^2 = 9</math> ； 6 个把两个二阶元映射到不同两个二阶元 <math>A_3^2 = 6</math> ，即自同构。
** [[群自同构]]在把幺元映射到幺元时保持双射，自然就是把三个二阶元映射到这三个二阶元上进行排列，因此其结构就是 3 次对称群， <math>\mathrm{Aut}(V_4) \cong S_3</math> 。


{{小阶数群}}