Klein 四元群

克莱因四元群
术语名称	克莱因四元群
英语名称	Klein four-group
别名	克莱因-4 群

Klein 四元群
对象名称	Klein 四元群
对象记号	[math]\displaystyle{ V_4 }[/math],[math]\displaystyle{ V }[/math],[math]\displaystyle{ K_4 }[/math]
Latex	V_4, V, K_4
对象类别	群

含有四个元素的非循环群，其结构同构于 [math]\displaystyle{ C_2\times C_2 }[/math] ，称为克莱因四元群(Klein four-group) [math]\displaystyle{ V_4 }[/math] 或 [math]\displaystyle{ V }[/math] 或 [math]\displaystyle{ K_4 }[/math] 。

也可以描述为 4 阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_4 }[/math] 。

是交换群。是二面体群。

是最小的非循环群。是最小的非单群。

举例

• 是 4 阶二面体群，即翻转和半周旋转构成的群，如矩形不动、绕中心 [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} }[/math] 周旋转、绕过中心平行于长边的轴翻转、绕过中心平行于短边的轴翻转。菱形类似，实际上适用于一切有两条对称轴（且必定垂直）的图形。
• 群直积 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 }[/math] 。如点 [math]\displaystyle{ (\pm1,\pm1) }[/math] 关于逐分量乘法的乘法群。

刻画

Klein 四元群中有四个元素：

• 幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
• 另三个是非幺元，都在 2 次幂时回归幺元，也就是说是一种对合的运算，且第三个是前两个连续作用的结果，可表示为 [math]\displaystyle{ a, b, c=ab }[/math] 。

Cayley 表

Klein 四元群的 Cayley 表如下所示：

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|cccc} \cdot & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} }[/math]

可以按照二面体群的结构可视化为：

[math]\displaystyle{ V }[/math] 群表

复合	恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math]	水平翻转 [math]\displaystyle{ h }[/math]	垂直翻转 [math]\displaystyle{ v }[/math]	半周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]
恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math]	水平翻转 [math]\displaystyle{ h }[/math]	垂直翻转 [math]\displaystyle{ v }[/math]	半周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]
水平翻转 [math]\displaystyle{ h }[/math]	水平翻转 [math]\displaystyle{ h }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ h^2=i }[/math]	半周旋转 [math]\displaystyle{ hv=r }[/math]	垂直翻转 [math]\displaystyle{ hr=v }[/math]
垂直翻转 [math]\displaystyle{ v }[/math]	垂直翻转 [math]\displaystyle{ v }[/math]	半周旋转 [math]\displaystyle{ vh=r }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ v^2=i }[/math]	水平翻转 [math]\displaystyle{ vr=h }[/math]
半周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]	半周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]	垂直翻转 [math]\displaystyle{ rh=v }[/math]	水平翻转 [math]\displaystyle{ rv=h }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ r^2=i }[/math]

内部结构

考虑都拆分为两个元素表达，则 Cayley 表中可以明确看到有 [math]\displaystyle{ 2\times 2 }[/math] 的类似 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 的子结构，事实上 [math]\displaystyle{ V \cong C_2\times C_2 }[/math] ：

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|cccc} \cdot & ee & {\color{red}ae} & {\color{blue}eb} & {\color{magenta}ab} \\ \hline ee & ee & {\color{red}ae} & {\color{blue}eb} & {\color{magenta}ab} \\ {\color{red}ae} & {\color{red}ae} & ee & {\color{magenta}ab} & {\color{blue}eb} \\ {\color{blue}eb} & {\color{blue}eb} & {\color{magenta}ab} & ee & {\color{red}ae} \\ {\color{magenta}ab} & {\color{magenta}ab} & {\color{blue}eb} & {\color{red}ae} & ee \\ \end{array} {\Large\quad\cong\quad} \begin{array}{c|cc} \cdot & e & {\color{red}a} \\ \hline e & e & {\color{red}a} \\ {\color{red}a} & {\color{red}a} & e \\ \end{array} {\Large\quad\times\quad} \begin{array}{c|cc} \cdot & e & {\color{blue}b} \\ \hline e & e & {\color{blue}b} \\ {\color{blue}b} & {\color{blue}b} & e \\ \end{array} }[/math]

Cayley 图

是一个二面体群，有两个不同的二阶生成元，可以看成翻转和旋转，因此 Cayley 图如下图所示。

明显存在两个完全相同的类似 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 结构，且两个结构间对应位置（由于 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 中结构上两个元素只有是否幺元的差异，只存在一个自同构，其实一定对应）通过完全相同的 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 结构关联，也可以说明其同构于 [math]\displaystyle{ C_2\times C_2 }[/math] 。

环图

其子循环群结构表述为以下环图。

三个元素所在的极大循环子群都是由自身生成的二阶子群。

群表示

Klein 四元群的群表示为 [math]\displaystyle{ \langle a, b \mid a^2 = b^2 = (ab)^2 = e \rangle }[/math] 。

性质

• 群
  • Klein 四元群中，幺元以外的三个元素 [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] 都是二阶的。
  • 二阶元的逆是自身。
    [math]\displaystyle{ a^2 = b^2 = c^2 = e \Rightarrow a^{-1}=a, b^{-1}=b, c^{-1}=c }[/math] 。
  • 是交换群。
• 子群结构
  • 子群分布：除平凡子群外，还有三个二阶群作为子群，即 [math]\displaystyle{ \{e,a\},\{e,b\},\{e,c\} }[/math] 。其子群格有 [math]\displaystyle{ 4-(2,2,2)-1 }[/math] 的结构。=
  • 正规子群：以上五个子群均正规。
  • 商群：平凡子群的商仍是平凡子群。考虑二阶子群，对其的商也是 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 。因此 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math] 是 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 通过 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 的一个群扩张；可以证明，其就是两个二阶群的群直积。
• 其他复杂结构
  • 是 4 阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_4 }[/math] 。
• 自同态结构
  • 有 16 个群自同态。幺元映射到幺元，只需要考虑 [math]\displaystyle{ a,b }[/math] 两个元素的去向。 1 个平凡同态 [math]\displaystyle{ g\mapsto e_V }[/math] ； 6 个把一个二阶元映射到幺元，一个二阶元映射到二阶元， 3 个把两个二阶元映射到同一个二阶元，分别为 [math]\displaystyle{ e,a\mapsto e, b,ab\mapsto x }[/math] ，和 [math]\displaystyle{ e,ab\mapsto e, a,b\mapsto x }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ x }[/math] 是任选的一个二阶元， [math]\displaystyle{ a,b,ab }[/math] 中取两个非幺元，共 [math]\displaystyle{ C_3^1 C_3^2 = 9 }[/math] ； 6 个把两个二阶元映射到不同两个二阶元 [math]\displaystyle{ A_3^2 = 6 }[/math] ，即自同构。
  • 群自同构在把幺元映射到幺元时保持双射，自然就是把三个二阶元映射到这三个二阶元上进行排列，因此其结构就是 3 次对称群， [math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}(V_4) \cong S_3 }[/math] 。

小群
1	平凡群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]
2	二阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math]
3	三阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math]
4	四阶循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math]、Klein 四元群 [math]\displaystyle{ V }[/math] / [math]\displaystyle{ K_4 }[/math]
5	五阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math]
6	六阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 、三次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] / 六阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math]
7	七阶循环群 [math]\displaystyle{ C_7 }[/math]
8	八阶循环群 [math]\displaystyle{ C_8 }[/math] 、八阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_4 \times C_2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 }[/math] 、四元数群