Klein 四元群

克莱因四元群
术语名称	克莱因四元群
英语名称	Klein four-group
别名	克莱因-4 群

Klein 四元群
对象名称	Klein 四元群
对象记号	[math]\displaystyle{ K_4 }[/math],[math]\displaystyle{ V }[/math],[math]\displaystyle{ V_4 }[/math]
Latex	K_4 , V , V_4
对象类别	群

含有四个元素的非循环群，其结构同构于 [math]\displaystyle{ C_2\times C_2 }[/math] ，称为克莱因四元群(Klein four-group) [math]\displaystyle{ K_4 }[/math] 或 [math]\displaystyle{ V }[/math] 或 [math]\displaystyle{ V_4 }[/math] 。

也可以描述为 4 阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_4 }[/math] 。

是最小的非循环群。

举例

• 矩形翻转、半周旋转，不动、绕中心 [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} }[/math] 周旋转、绕过中心平行于长边的轴翻转、绕过中心平行于短边的轴翻转。菱形类似，实际上适用于一切有两条对称轴（且必定垂直）的图形。
• 点 [math]\displaystyle{ (\pm1,\pm1) }[/math] 关于逐分量乘法的乘法群。（两个符号群的直积）

刻画

Klein 四元群中有四个元素：

• 幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
• 另三个是非幺元，都在 2 次幂时回归幺元，可表示为 [math]\displaystyle{ a, b, c=ab }[/math] 。

Klein 四元群的Cayley 表如下所示：

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|ccc} \cdot & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} }[/math]

Klein 四元群的群表示为 [math]\displaystyle{ \langle a, b \mid a^2 = b^2 = (ab)^2 = e \rangle }[/math] 。

性质

• 群
  • Klein 四元群中，幺元以外的三个元素 [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] 都是二阶的。
  • 二阶元的逆是自身。
    [math]\displaystyle{ a^2 = b^2 = c^2 = e \Rightarrow a^{-1}=a, b^{-1}=b, c^{-1}=c }[/math] 。
  • 是交换群。
• 子群结构
  • 除平凡子群外，还有三个二阶群作为子群，即 [math]\displaystyle{ \{e,a\},\{e,b\},\{e,c\} }[/math] 。其子群格有 [math]\displaystyle{ 4-(2,2,2)-1 }[/math] 的结构。
  • 对二阶子群的商群是个二阶群。是两个二阶群的群直积。
• 其他复杂结构
  • 是 4 阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_4 }[/math] 。

小群
1	平凡群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]
2	二阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math]
3	三阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math]
4	四阶循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math]、Klein 四元群 [math]\displaystyle{ K_4 }[/math]
5	五阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math]
6	六阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 、三次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] / 六阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math]
7	七阶循环群 [math]\displaystyle{ C_7 }[/math]
8	八阶循环群 [math]\displaystyle{ C_8 }[/math] 、八阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_4 \times C_2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 }[/math] 、四元数群