查看“︁Kronecker 符号（数论）”︁的源代码

[[分类:同余理论]]
[[分类:以 Kronecker 命名]]
{{InfoBox
|name=克罗内克符号
|eng_name=Kronecker symbol
}}
'''<ins>克罗内克</ins>符号'''是对 [[Jacobi 符号]]的延拓，下方操作数从正奇数推广至一切整数。也有一些定义限制上方操作数只能是模 4 同余于 0 或 1 的非完全平方的整数，或限制下方操作数只能是正整数。

== 定义 ==

对整数 <math>a</math> ，整数 <math>n</math> 且有带符号的[[标准质因数分解]] <math>n = u p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k}</math> ，则定义

<math>\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{u}\right) \cdot \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1} \left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2} \dots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}</math>

且定义 <math>n</math> 取奇质数时， Kronecker 符号取 [[Legendre 符号]]。
对其他情况，补充定义：

<math>\left(\frac{a}{0}\right) = \begin{cases} 1 &, a=\pm1 \\ 0, \text{其他} \end{cases}</math>

<math>\left(\frac{a}{1}\right) = 1</math>

<math>\left(\frac{a}{-1}\right) = \begin{cases} 1 &, a \geq 0 \\ -1 &, a < 0 \end{cases}</math>

<math>\left(\frac{a}{2}\right) = \begin{cases} 0 &, 2 \mid a \\ 1 &, a \equiv \pm1 \pmod 8 \\ -1 &, a \equiv \pm3 \pmod 8 \end{cases}</math> （即 Jacobi 符号的 <math>\left(\tfrac{2}{\vert a\vert}\right)</math>）

== 意义 ==

Kronecker 符号进一步保持了 Jacobi 符号的性质，但是部分性质需要受到额外限制才能成立。

== 性质 ==

* 当 <math>\operatorname{gcd}(a, n)=1</math> 时， <math>\left(\tfrac{a}{n}\right)</math> 取值 <math>\pm1</math> ；否则 <math>\left(\tfrac{a}{n}\right)=0</math> 。
* 有限制的乘性
** 对 <math>a</math>：
*** <math>\left(\frac{1}{n}\right) = 1</math>
*** 若不同时满足 <math>n-1</math> ，<math>a,b</math> 一个取零、另一个取负，有 <math>\left(\frac{ab}{n}\right) =  \left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)</math>
** 对 <math>n</math>：
*** <math>\left(\frac{a}{1}\right) = 1</math> （[[空积]]）
*** 若不同时满足 <math>n-1</math> ，<math>m,n</math> 一个取零、另一个去掉因数 2 后与 3 模 4 同余，<math>\left(\frac{a}{mn}\right) =  \left(\frac{a}{m}\right)\left(\frac{a}{n}\right)</math>
* 若 <math>n>0</math> 或 <math>ab>0</math> ：若 <math>n \equiv 2 \pmod 4</math> ，有 <math>\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{b}{n}\right)</math> 对 <math>a \equiv b \pmod{4n}</math> 成立 ；否则，有 <math>\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{b}{n}\right)</math> 对 <math>a \equiv b \pmod{n}</math> 成立。
* 若 <math>a \not\equiv 3 \pmod 4</math> 且 <math>a\neq0</math> ：若 <math>n \equiv 2 \pmod 4</math> ，有 <math>\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{m}\right)</math> 对 <math>m \equiv n \pmod{4|a|}</math> 成立 ；否则，有 <math>\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{m}\right)</math> 对 <math>m \equiv n \pmod{|a|}</math> 成立。
* <math>\left(\tfrac{m}{n}\right)\left(\tfrac{n}{m}\right) = \pm (-1)^{\tfrac{m'-1}{2}\cdot\frac{n'-1}{2}}</math> ，其中 <math>m',n'</math> 是 <math>m,n</math> 去掉因数 2 后的部分， <math>\pm</math> 当且仅当 <math>m<0,n<0</math> 时取 <math>-</math> 。


{{同余理论}}