Kronecker 符号（数论）
| 克罗内克符号 | |
|---|---|
| 术语名称 | 克罗内克符号 |
| 英语名称 | Kronecker symbol |
克罗内克符号是对雅可比符号的延拓，下方操作数从正奇数推广至一切整数。也有一些定义限制上方操作数只能是模 4 同余于 0 或 1 的非完全平方的整数，或限制下方操作数只能是正整数。
定义
对整数 [math]\displaystyle{ a }[/math] ，整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] 且有带符号的标准质因数分解 [math]\displaystyle{ n = u p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k} }[/math] ，则定义
[math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{u}\right) \cdot \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1} \left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2} \dots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k} }[/math]
且定义 [math]\displaystyle{ n }[/math] 取奇质数时，克罗内克符号取勒让德符号。 对其他情况，补充定义：
[math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{0}\right) = \begin{cases} 1 &, a=\pm1 \\ 0, \text{其他} \end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{1}\right) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{-1}\right) = \begin{cases} 1 &, a \geq 0 \\ -1 &, a \lt 0 \end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{2}\right) = \begin{cases} 0 &, 2 \mid a \\ 1 &, a \equiv \pm1 \pmod 8 \\ -1 &, a \equiv \pm3 \pmod 8 \end{cases} }[/math] （即雅可比符号的 [math]\displaystyle{ \left(\tfrac{2}{\vert a\vert}\right) }[/math]）
意义
克罗内克符号进一步保持了雅可比符号的性质，但是部分性质需要受到额外限制才能成立。
性质
- 当 [math]\displaystyle{ \operatorname{gcd}(a, n)=1 }[/math] 时， [math]\displaystyle{ \left(\tfrac{a}{n}\right) }[/math] 取值 [math]\displaystyle{ \pm1 }[/math] ；否则 [math]\displaystyle{ \left(\tfrac{a}{n}\right)=0 }[/math] 。
- 有限制的乘性
- 对 [math]\displaystyle{ a }[/math]：
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{n}\right) = 1 }[/math]
- 若不同时满足 [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] ，[math]\displaystyle{ a,b }[/math] 一个取零、另一个取负，有 [math]\displaystyle{ \left(\frac{ab}{n}\right) = \left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right) }[/math]
- 对 [math]\displaystyle{ n }[/math]：
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{1}\right) = 1 }[/math] （空积）
- 若不同时满足 [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] ，[math]\displaystyle{ m,n }[/math] 一个取零、另一个去掉因数 2 后与 3 模 4 同余，[math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{mn}\right) = \left(\frac{a}{m}\right)\left(\frac{a}{n}\right) }[/math]
- 对 [math]\displaystyle{ a }[/math]：
- 若 [math]\displaystyle{ n\gt 0 }[/math] 或 [math]\displaystyle{ ab\gt 0 }[/math] ：若 [math]\displaystyle{ n \equiv 2 \pmod 4 }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{b}{n}\right) }[/math] 对 [math]\displaystyle{ a \equiv b \pmod{4n} }[/math] 成立 ；否则，有 [math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{b}{n}\right) }[/math] 对 [math]\displaystyle{ a \equiv b \pmod{n} }[/math] 成立。
- 若 [math]\displaystyle{ a \not\equiv 3 \pmod 4 }[/math] 且 [math]\displaystyle{ a\neq0 }[/math] ：若 [math]\displaystyle{ n \equiv 2 \pmod 4 }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{m}\right) }[/math] 对 [math]\displaystyle{ m \equiv n \pmod{4|a|} }[/math] 成立 ；否则，有 [math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{m}\right) }[/math] 对 [math]\displaystyle{ m \equiv n \pmod{|a|} }[/math] 成立。
- [math]\displaystyle{ \left(\tfrac{m}{n}\right)\left(\tfrac{n}{m}\right) = \pm (-1)^{\tfrac{m'-1}{2}\cdot\frac{n'-1}{2}} }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ m',n' }[/math] 是 [math]\displaystyle{ m,n }[/math] 去掉因数 2 后的部分， [math]\displaystyle{ \pm }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ m\lt 0,n\lt 0 }[/math] 时取 [math]\displaystyle{ - }[/math] 。