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[[分类:同余理论]]
[[分类:以 Lagrange 命名]]
{{InfoBox
|name=拉格朗日定理
|eng_name=Lagrange's theorem
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'''<ins>拉格朗日</ins>定理'''('''Lagrange's theorem''')在[[:分类:数论|数论]]领域，指[[质数模高次同余方程]]解数同时不超过次数和模数。

== 定理 ==

对质数 <math>p</math> ，整系数[[多项式函数]] <math>f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]</math> ，则对 <math>n</math> 次同余方程 <math>f(x)\equiv 0 \pmod p (p\not\mid a_n)</math> 以下两项最少有一项成立：

* <math>f(x)</math> 的每项的系数都被 <math>p</math> 整除，此时同余方程解数为 <math>p</math> ，即 <math>0,1,2,\dots,p-1</math> 。
* 同余方程解数不超过 <math>\deg f(x)</math> 。

== 推论 ==

如果解数大于多项式次数，则多项式必每项系数都被模数整除。

两个次数小于模数 <math>p</math> 的多项式，若其模 <math>p</math> [[恒等同余]]，则其模 <math>p</math> 同余。


{{同余理论}}