Lagrange 定理（数论）
| 拉格朗日定理 | |
|---|---|
| 术语名称 | 拉格朗日定理 |
| 英语名称 | Lagrange's theorem |
拉格朗日定理(Lagrange's theorem)在数论领域，指质数模高次同余方程解数同时不超过次数和模数。
定理
对质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，整系数多项式函数 [math]\displaystyle{ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 \in \mathbb{Z}[x] }[/math] ，则对 [math]\displaystyle{ n }[/math] 次同余方程 [math]\displaystyle{ f(x)\equiv 0 \pmod p (p\not\mid a_n) }[/math] 以下两项最少有一项成立：
- [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] 的每项的系数都被 [math]\displaystyle{ p }[/math] 整除，此时同余方程解数为 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ 0,1,2,\dots,p-1 }[/math] 。
- 同余方程解数不超过 [math]\displaystyle{ \deg f(x) }[/math] 。
推论
如果解数大于多项式次数，则多项式必每项系数都被模数整除。
两个次数小于模数 [math]\displaystyle{ p }[/math] 的多项式，若其模 [math]\displaystyle{ p }[/math] 恒等同余，则其模 [math]\displaystyle{ p }[/math] 同余。