查看“︁Lagrange 插值法”︁的源代码

[[分类:数值分析]]
{{InfoBox
|name=拉格朗日插值法
|eng_name=Lagrange's interpolation
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|name=拉格朗日插值多项式
|eng_name=Lagrange's interpolating polynomial
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'''拉格朗日插值法'''是求经过一系列数据点的唯一的最低次数多项式的方法。
所拟合出的多项式称为拉格朗日插值多项式。

== 定义 ==

对给定数据集 <math>(x_i, y_i)</math> ，其中 <math>i = 0, \dots, k</math> 共计 <math>(k+1)</math> 个数，且 <math>x_i</math> 两两互不相同，则必有唯一不超过 <math>k</math> 阶的多项式 <math>L(x)</math> 使得 <math>L(x_i) = y_i</math> 。
记

<math>
l_j(x) = \prod_{\begin{split} 0\leq m \leq k \\ m \neq j \end{split}} \frac{x - x_m}{x_j - x_m}
= \frac{(x-x_0)\dots (x-x_{j-1}) (x-x_{j+1}) \dots (x-x_k)}{(x_j-x_0) \dots (x_j-x_{j-1}) (x_j-x_{j+1}) \dots (x_j-x_k)}</math>

是一个 <math>k</math> 次多项式，且显然满足 <math>l_j(x_m)=\delta_{j,m}</math> ，即当 <math>j=m</math> 时取 1 ，否则取 0 。因此，有多项式：

<math>
L(x) = \sum_{j=0}^k y_j l_j(x)
</math>

是一个不超过 <math>k</math> 次的多项式，且经过给定数据点。