Lagrange 插值法

拉格朗日插值法
术语名称	拉格朗日插值法
英语名称	Lagrange's interpolation

拉格朗日插值多项式
术语名称	拉格朗日插值多项式
英语名称	Lagrange's interpolating polynomial

拉格朗日插值法是求经过一系列数据点的唯一的最低次数多项式的方法。 所拟合出的多项式称为拉格朗日插值多项式。

定义

对给定数据集 [math]\displaystyle{ (x_i, y_i) }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ i = 0, \dots, k }[/math] 共计 [math]\displaystyle{ (k+1) }[/math] 个数，且 [math]\displaystyle{ x_i }[/math] 两两互不相同，则必有唯一不超过 [math]\displaystyle{ k }[/math] 阶的多项式 [math]\displaystyle{ L(x) }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ L(x_i) = y_i }[/math] 。 记

[math]\displaystyle{ l_j(x) = \prod_{\begin{split} 0\leq m \leq k \\ m \neq j \end{split}} \frac{x - x_m}{x_j - x_m} = \frac{(x-x_0)\dots (x-x_{j-1}) (x-x_{j+1}) \dots (x-x_k)}{(x_j-x_0) \dots (x_j-x_{j-1}) (x_j-x_{j+1}) \dots (x_j-x_k)} }[/math]

是一个 [math]\displaystyle{ k }[/math] 次多项式，且显然满足 [math]\displaystyle{ l_j(x_m)=\delta_{j,m} }[/math] ，即当 [math]\displaystyle{ j=m }[/math] 时取 1 ，否则取 0 。因此，有多项式：

[math]\displaystyle{ L(x) = \sum_{j=0}^k y_j l_j(x) }[/math]

是一个不超过 [math]\displaystyle{ k }[/math] 次的多项式，且经过给定数据点。