查看“︁Möbius 函数”︁的源代码

[[分类:数论函数]]
[[分类:以 Möbius 命名]]
{{InfoBox
|name=莫比乌斯函数
|eng_name=Möbius function
}}
'''<ins>莫比乌斯</ins>函数'''('''Möbius function''')是出现在 [[Möbius 反演]]中的[[数论函数]]，值根据质因数个数奇偶性取 ±1，且对所有质因数平方因数的数都取 0。
在 [[Dirichlet 卷积]]中是[[常数函数]]的逆元。

== 定义 ==

{{Function
|name=Möbius 函数
|symbol=<math>\mu()</math>
|latex=\mu
|prototype=乘性函数
|domain=<math>\mathbb{N}_+</math>
|codomain=<math>\{0, \pm1\}</math>
}}
对正整数 <math>n</math> ，定义函数 <math>\mu(n)</math> 满足：
<math>
\mu(n) = \begin{cases}
(-1)^m &, n = p_1 p_2 \dots p_m \\
0 &, \text{其他} \\
\end{cases}
</math>

也等价于 
<math>
\mu(n) = \begin{cases}
(-1)^{\omega(n)}=(-1)^{\Omega(n)} &, \omega(n) = \Omega(n) \\
0 &, \text{其他} \\
\end{cases}
</math>

== 性质 ==

Möbius 函数是[[乘性函数]]。

和映射到 1 的常数函数 <math>1</math> 在 [[Dirichlet 卷积]]下互为逆元，即 <math>\mu * 1 = 1 * \mu = \epsilon</math> 。

进一步对 <math>\mu(n)</math> 进行 Möbius 变换得到的是 <math>\left\lfloor \tfrac{1}{n} \right\rfloor</math> 。
对 <math>\tfrac{\mu(n)}n</math> 进行 Möbius 变换得到的是 <math>\tfrac{\varphi(n)}{n}</math> 。


{{数论函数}}