Möbius 函数

莫比乌斯函数
术语名称	莫比乌斯函数
英语名称	Möbius function

莫比乌斯函数(Möbius function)是出现在 Möbius 反演中的数论函数，值根据质因数个数奇偶性取 ±1，且对所有质因数平方因数的数都取 0。 在 Dirichlet 卷积中是常数函数的逆元。

定义

Möbius 函数
函数名称	Möbius 函数
函数符号	[math]\displaystyle{ \mu() }[/math]
Latex	\mu
类型	乘性函数
定义域	[math]\displaystyle{ \mathbb{N}_+ }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \{0, \pm1\} }[/math]

对正整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，定义函数 [math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math] 满足： [math]\displaystyle{ \mu(n) = \begin{cases} (-1)^m &, n = p_1 p_2 \dots p_m \\ 0 &, \text{其他} \\ \end{cases} }[/math]

也等价于 [math]\displaystyle{ \mu(n) = \begin{cases} (-1)^{\omega(n)}=(-1)^{\Omega(n)} &, \omega(n) = \Omega(n) \\ 0 &, \text{其他} \\ \end{cases} }[/math]

性质

Möbius 函数是乘性函数。

和映射到 1 的常数函数 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 在 Dirichlet 卷积下互为逆元，即 [math]\displaystyle{ \mu * 1 = 1 * \mu = \epsilon }[/math] 。

进一步对 [math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math] 进行 Möbius 变换得到的是 [math]\displaystyle{ \left\lfloor \tfrac{1}{n} \right\rfloor }[/math] 。 对 [math]\displaystyle{ \tfrac{\mu(n)}n }[/math] 进行 Möbius 变换得到的是 [math]\displaystyle{ \tfrac{\varphi(n)}{n} }[/math] 。

数论函数
分类	加性函数	完全加性函数
	乘性函数	完全乘性函数
性质	Möbius 反演（Möbius 变换、 Möbius 逆变换）
	Dirichlet 卷积
常见数论函数
除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_k(n) }[/math]	除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_0(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ d(n) }[/math]	除数和函数 [math]\displaystyle{ \sigma_1(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]
Euler 函数	Euler 函数 [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math]	Carmichael 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
二次剩余相关符号	Legendre 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{p}) }[/math]	Jacobi 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{d}) }[/math]
乘法阶数与指标	乘法阶数 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}_{m} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \delta_{m}(n) }[/math]	指标 [math]\displaystyle{ \operatorname{ind}_{g} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \gamma_{m,g}(n) }[/math]
其他	相异质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \omega(n) }[/math]	质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \Omega(n) }[/math]、Liouville 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
	质数计数函数 [math]\displaystyle{ \pi(n) }[/math]	Чебышёв 第一函数 [math]\displaystyle{ \theta(n) }[/math]、第二函数 [math]\displaystyle{ \psi(n) }[/math]、Mangoldt 函数 [math]\displaystyle{ \Lambda(n) }[/math]
	Möbius 函数 [math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math]
	Dirichlet 特征 [math]\displaystyle{ \chi(n;m) }[/math]