查看“︁Sylow 第一定理”︁的源代码

[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=西罗第一定理
|eng_name=first Sylow theorem
}}
{{InfoBox
|name=西罗p-子群
|eng_name=Sylow p-subgroup
|aliases=p-西罗子群,p-Sylow subgroup
}}
{{InfoBox
|name=p-子群
|eng_name=p-subgroup
}}
'''<ins>西罗</ins>第一定理'''('''first Sylow theorem''')是关于[[有限群]]中对任意[[质数|质]][[整除关系|因子]]的[[恰整除]]幂阶子群存在性的定理。

== 定义 ==

对有限群 <math>G</math> ，存在质数 <math>p</math> 使得 <math>|G| = mp^r, \operatorname{gcd}(m,p)=1</math> （即 <math>p^r \Vert |G|</math>），则其阶数为 <math>p^r</math> 的子群称为群 <math>G</math> 的 '''Sylow <math>p</math>-子群'''('''Sylow <math>p</math>-subgroup''')或 '''<math>p</math>-Sylow 子群'''('''<math>p</math>-Sylow subgroup''')。

注：只要求恰整除关系，所以允许 <math>r=0</math> ，此时就是平凡子群。

注：未要求恰整除，仅满足子群及阶数为 <math>p^r</math> （ [[p-群|<math>p</math>-群]]）时，称为 <math>p</math>-子群( <math>p</math>-subgroup)。

== 定理 ==

对有限群 <math>G</math> 及任意质数 <math>p</math> ，群 <math>G</math> 必含有 Sylow <math>p</math>-子群。

=== 等价定理 ===

对有限群 <math>G</math> 及任意质数 <math>p</math> ，若 <math>p^k \mid |G|</math> ，则 <math>G</math> 中一定含有 <math>p^k</math> 阶子群。

注：当 <math>k=1</math> 时，就是 [[Cauchy 定理（有限群）|Cauchy 定理]]。


{{有限群理论}}