Sylow 第一定理

西罗第一定理
术语名称	西罗第一定理
英语名称	first Sylow theorem

西罗p-子群
术语名称	西罗p-子群
英语名称	Sylow p-subgroup
别名	p-西罗子群, p-Sylow subgroup

p-子群
术语名称	p-子群
英语名称	p-subgroup

西罗第一定理(first Sylow theorem)是关于有限群中对任意质因子的恰整除幂阶子群存在性的定理。

定义

对有限群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，存在质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ |G| = mp^r, \operatorname{gcd}(m,p)=1 }[/math] （即 [math]\displaystyle{ p^r \Vert |G| }[/math]），则其阶数为 [math]\displaystyle{ p^r }[/math] 的子群称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的 Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群(Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-subgroup)或 [math]\displaystyle{ p }[/math]-Sylow 子群([math]\displaystyle{ p }[/math]-Sylow subgroup)。

注：只要求恰整除关系，所以允许 [math]\displaystyle{ r=0 }[/math] ，此时就是平凡子群。

注：未要求恰整除，仅满足子群及阶数为 [math]\displaystyle{ p^r }[/math] （ [math]\displaystyle{ p }[/math]-群）时，称为 [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群( [math]\displaystyle{ p }[/math]-subgroup)。

定理

对有限群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及任意质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 必含有 Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群。

等价定理

对有限群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及任意质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ p^k \mid |G| }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中一定含有 [math]\displaystyle{ p^k }[/math] 阶子群。

注：当 [math]\displaystyle{ k=1 }[/math] 时，就是 Cauchy 定理。

有限群理论
子群存在性
特殊阶数群	[math]\displaystyle{ p }[/math]-群			[math]\displaystyle{ pq }[/math]-群
特殊阶数子群	类方程	Cauchy 定理	Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群		Sylow 第二定理	Sylow 第三定理
由单群合成
逐层构造	次正规列、正规列、因子			单群、合成列
	Zassenhaus 引理		Schreier 细化定理		Jordan–Hölder 定理
组合方式	群正合列	群直积（群内直积）、群半直积		群短正合列	群扩张
交换的对称性
交换性成分	换位子、导群		导列		可解群