三角形数
| 三角形数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 三角形数 |
| 英语名称 | triangular number |
| 别名 | triangle number |
形状数理论中，能按照等间距圆点被排列为等边三角形的数称为三角形数(triangular/triangle number)。
定义
对整数 [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z} }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\exists n\in \mathbb{N})(1 + 2 + \cdots + n = m) }[/math] ，则称整数 [math]\displaystyle{ m }[/math] 是一个三角形数(triangular number / triangle number)。
有时记作 [math]\displaystyle{ T_n }[/math] ，形式上也可表达为 [math]\displaystyle{ T_n = 1 + 2 + \cdots + n = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2} }[/math] 是第 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个三角形数，从第 [math]\displaystyle{ 0 }[/math] 个三角形数开始。
性质
相邻两个三角形数刚好可以拼成一个正方形数。
一阶递推：
三角形数数列中相邻两项之差是正整数列。即 [math]\displaystyle{ T_n - T_(n-1) = n }[/math] 。递推形式为 [math]\displaystyle{ T_n = \begin{cases} 0&, n=0 \\ T_{n-1} + n &, n\geq 1 \end{cases} }[/math] 。