完全平方数
| 完全平方数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 完全平方数 |
| 英语名称 | perfect square |
| 别名 | 平方数 |
| 正方形数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 正方形数 |
| 英语名称 | square number |
数论中，完全平方数(perfect square)指一个整数可以被看作另一个整数的平方，也简称为平方数(square number)。
形状数理论中，能按照等间距圆点被排列为正方形的数称为正方形数(square number)。
两者为等价的概念。
定义
对整数 [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z} }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\exists n\in \mathbb{N})(n^2 = m) }[/math] ，则称整数 [math]\displaystyle{ m }[/math] 是一个完全平方数(perfect square)。
作为形状数，我们也称完全平方数为正方形数(square number)，且我们一般称 [math]\displaystyle{ n^2 (n\geq 0) }[/math] 是第 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个正方形数，从第 [math]\displaystyle{ 0 }[/math] 个正方形数开始。
注：由于被平方，定义可以不区分 [math]\displaystyle{ \exists n\in \mathbb{N} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \exists n\in \mathbb{Z} }[/math] ，但是由于序号的问题，一般默认取前者。
性质
一阶递推：
正方形数数列中相邻两项之差是正奇数列。即 [math]\displaystyle{ n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1 }[/math] 。也可以说 [math]\displaystyle{ n^2 = \sum_{i=1}^n (2i-1) }[/math] ，或者递推形式为 [math]\displaystyle{ n^2 = \begin{cases} 0&, n=0 \\ (n-1)^2 + (2n-1) &, n\geq 1 \end{cases} }[/math] 。
二阶递推：
递推形式为 [math]\displaystyle{ n^2 = \begin{cases} 0&, n=0 \\ 1&, n=1 \\ 2(n-1)^2 - (n-2)^2 + 2 &, n\geq 2 \end{cases} }[/math] 。