Cantor 标准型

Cantor 标准型
术语名称	Cantor 标准型
英语名称	Cantor normal form

Cantor 标准型(Cantor normal form)是序数的一种标准表示形式。每个序数都可以唯一地表示为 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] 的幂的和，这一定理在序数理论和集合论中具有基础地位。

定义

任何序数 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 都可以唯一表示为： [math]\displaystyle{ \alpha = \omega^{\beta_1} \cdot k_1 + \omega^{\beta_2} \cdot k_2 + \cdots + \omega^{\beta_n} \cdot k_n }[/math] 其中 [math]\displaystyle{ \beta_1 \gt \beta_2 \gt \cdots \gt \beta_n \geq 0 }[/math] 是序数构成的严格递减序列， [math]\displaystyle{ k_i }[/math] 是正整数。 特别地，对于 [math]\displaystyle{ \alpha=0 }[/math] 的情况 [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] 。这种分解形式称为序数 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 的Cantor 标准型(Cantor normal form)。

注：形式上类似于任何一个序数都可以按 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] 进制展开。

变体

[math]\displaystyle{ \alpha = \omega^{\beta_1} + \omega^{\beta_2} + \cdots + \omega^{\beta_n} }[/math] 其中 [math]\displaystyle{ \beta_1 \geq \beta_2 \geq \cdots \geq \beta_n \geq 0 }[/math] 是序数构成的非严格递减序列。

性质

• 唯一性。
• 从 [math]\displaystyle{ \varepsilon_0 }[/math] 开始，会出现无法用有限和表达的序数。
• 通过最高项对齐并使用指数降序字典序可以比较序数本身的序关系。