Tarski 真理定义
（重定向自基本语义定义）
| 真理定义 | |
|---|---|
| 术语名称 | 真理定义 |
| 英语名称 | definition of truth |
| 别名 | 真定义 |
| 基本语义定义 | |
|---|---|
| 术语名称 | 基本语义定义 |
| 英语名称 | basic semantic definition |
| 别名 | 真定义 |
真理定义指塔斯基对“真”本身的递归定义。
在命题逻辑及谓词逻辑中，为避免自我指涉（即命题直接或间接地涉及自身的真假），以及解决真假无法对应客观对象的问题， 认为真假不是对象语言中的对象，即不能在被研究的命题公式或谓词公式本身中获得有效定义，它们仅能在元语言中定义。 塔斯基提出：
- “真”应在元语言中定义为谓词，与对象命题或其他涉及元语言的成分共同构成元命题；
- 这一谓词可通过真理指派和递归的方式进行定义。
一个常见的自我指涉与否定共同构成自我否定的句子是说谎者悖论，即“这句话是假的”。
真理定义（命题逻辑）
也称为真理定义。
对 [math]\displaystyle{ L_0 }[/math]-公式，递归地定义其真值 [math]\displaystyle{ \phi^\sigma }[/math] 如下：
- 对命题变元 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，指派的定义已给定其值 [math]\displaystyle{ p^\sigma }[/math] ；
- [math]\displaystyle{ (\lnot\phi)^\sigma }[/math] 为真，当且仅当 [math]\displaystyle{ \phi^\sigma }[/math] 为假；
- [math]\displaystyle{ (\phi\land\psi)^\sigma }[/math] 为真，当且仅当 [math]\displaystyle{ \phi^\sigma }[/math] 为真且 [math]\displaystyle{ \psi^\sigma }[/math] 为真；
- [math]\displaystyle{ (\phi\lor\psi)^\sigma }[/math] 为真，当且仅当 [math]\displaystyle{ \phi^\sigma }[/math] 为真或 [math]\displaystyle{ \psi^\sigma }[/math] 为真；
- [math]\displaystyle{ (\phi\rightarrow\psi)^\sigma }[/math] 为真，当且仅当 [math]\displaystyle{ \phi^\sigma }[/math] 为假或 [math]\displaystyle{ \psi^\sigma }[/math] 为真；
- [math]\displaystyle{ (\phi\leftrightarrow\psi)^\sigma }[/math] 为真，当且仅当 [math]\displaystyle{ \phi^\sigma = \psi^\sigma }[/math] 。
相反的情况定义为“假”。
真理定义（谓词逻辑）
也称为基本语义定义（basic semantic definition，缩写为BSD）。
对模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 上的赋值 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ，定义：
对 [math]\displaystyle{ L_1 }[/math]-项 [math]\displaystyle{ t }[/math] ，递归地定义其在 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 下的值如下：
- 对个体常项 [math]\displaystyle{ c }[/math] ，模型与赋值的定义已给定其值 [math]\displaystyle{ c^\sigma=c^\mathfrak{A} }[/math] ；
- 对个体变项 [math]\displaystyle{ x }[/math] ，赋值的定义已给定其值 [math]\displaystyle{ x^\sigma }[/math] ；
- 对包含函项的形式 [math]\displaystyle{ f(t_1, \dots, t_n) }[/math] ，定义其值 [math]\displaystyle{ (f(t_1, \dots, t_n))^\sigma = f^\sigma (t_1^\sigma \dots t_n^\sigma) }[/math] 。
对 [math]\displaystyle{ L_1 }[/math]-公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] ，递归地定义其真值 [math]\displaystyle{ \phi^\sigma }[/math] 如下：
- [math]\displaystyle{ (s = t)^\sigma }[/math] 为真，当且仅当 [math]\displaystyle{ s^\sigma = t^\sigma }[/math] ；
- [math]\displaystyle{ (P(t_1, \dots, t_n))^\sigma }[/math] 为真，当且仅当 [math]\displaystyle{ (t_1\sigma, \dots, t_n\sigma) \in P^\sigma }[/math] ；
- [math]\displaystyle{ (\lnot\phi)^\sigma }[/math] 为真，当且仅当 [math]\displaystyle{ \phi^\sigma }[/math] 为假；
- [math]\displaystyle{ (\phi\land\psi)^\sigma }[/math] 为真，当且仅当 [math]\displaystyle{ \phi^\sigma }[/math] 为真且 [math]\displaystyle{ \psi^\sigma }[/math] 为真；
- [math]\displaystyle{ (\phi\lor\psi)^\sigma }[/math] 为真，当且仅当 [math]\displaystyle{ \phi^\sigma }[/math] 为真或 [math]\displaystyle{ \psi^\sigma }[/math] 为真；
- [math]\displaystyle{ (\phi\rightarrow\psi)^\sigma }[/math] 为真，当且仅当 [math]\displaystyle{ \phi^\sigma }[/math] 为假或 [math]\displaystyle{ \psi^\sigma }[/math] 为真；
- [math]\displaystyle{ (\phi\leftrightarrow\psi)^\sigma }[/math] 为真，当且仅当 [math]\displaystyle{ \phi^\sigma = \psi^\sigma }[/math] ；
- [math]\displaystyle{ (\forall x \phi)^\sigma }[/math] 为真，当且仅当对每一个 [math]\displaystyle{ a \in A }[/math] ， [math]\displaystyle{ \phi^{\sigma(x/a)} }[/math] 均为真；
- [math]\displaystyle{ (\exists x \phi)^\sigma }[/math] 为真，当且仅当对某个 [math]\displaystyle{ a \in A }[/math] ， [math]\displaystyle{ \phi^{\sigma(x/a)} }[/math] 为真。
相反的情况定义为“假”。