定义域、值域（关系）

定义域
术语名称	定义域
英语名称	domain of definition

值域
术语名称	值域
英语名称	range
别名	image

定义域(domain of definition)、值域(range)指对一个二元关系，所有有关系的元素对中可能出现在两个分量的元素所分别构成的集合。 全部在关系第一分量中出现的元素构成定义域，全部在关系第二分量中出现的元素构成值域。

定义

对 [math]\displaystyle{ X }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ：

定义集合 [math]\displaystyle{ \left\{ x \mid \exists y ( x R y ) \right\} }[/math] 为 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的定义域，记作 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} R }[/math] ，也有人记作 [math]\displaystyle{ D(R) }[/math] 。

定义集合 [math]\displaystyle{ \left\{ y \mid \exists x ( x R y ) \right\} }[/math] 为 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的值域(codomain of definition / range)，记作 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} R }[/math] ，也有人记作 [math]\displaystyle{ R(R) }[/math] 。

域
术语名称	域
英语名称	field

定义 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的定义域与值域的并集 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} R \cup \operatorname{ran} R }[/math] 为 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的域(field)，记作 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} R }[/math] ，也有人记作 [math]\displaystyle{ F(R) }[/math] 。

注：由定义可知， [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} R \subseteq X, \operatorname{ran} R \subseteq Y, \operatorname{fld} R \subseteq X \cup Y }[/math]。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]

琐事

定义域 domain of definition 也简称 domain ，但关系中 domain 也一般指关系的前域，为避免混乱标注为全称。